点到直线的距离公式更简单的推导

不会变的喇叭

我发现书上和网上更的点到直线的距离公式需要一定量的数学计算的推导，但是我原来推导的时候几乎没咋计算。方法就是计算原点到直线的距离，然后把原点平移到（x,y）点得到。

波斯猫猫

点到直线的距离  

在平面直角坐标系中，如果已知点P的坐标是（x。 ,y。），直线l的方程是Ax+By+C＝0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？

根据定义，点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长。

设PQ⊥直线l于点Q，且Q(m,n)，当A≠0,B≠0时，直线PQ的斜率满足：

(n-y。)/(m-x。)＝ B/A 。

令m-x。＝At（t≠0），则n-y。＝Bt 。

  ∵ 点Q(m,n)在直线l上，∴ A(x。+At)+B(y。+Bt)+C＝0。

从而      ｜t︱＝ ｜Ax。+By。+C｜/(A＾2+B＾2)。根据两点间的距离公式，可得

d＝ √〔（m-x。）＾2+（n-y。）＾2 ］＝√〔（A＾2+B＾2）t＾2］ ＝ √（A＾2+B＾2）｜t︱，

于是得到点到直线的距离公式      d＝ ｜Ax。+By。+C｜/√（A＾2+B＾2）。

当A＝0、或B＝0时，可证上述公式仍然成立。这时，也可以不用上面的公式而直接求距离。

注：这是一篇较完整的例文，其法类似于新教材中提到的认为运算较繁而没有采用的方法，其证明过程十分自然、简洁（页边可注记“想一想：当t＝0时，点P与直线l是怎样的位置关系？同时，在解析几何中，如果适时地引入新的“量”，常常会减少计算量。）。

摘自出师表大叔新浪博客《高中数学课本研习札记》。n多年前，该札记投稿至某课程.教材.教法期刊，追踪了近一年，最后就丢了，没有了。又过了好几年，一次偶然的机会，看到某新教材上，至少有四处做到了“不谋而合”。

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中学生也能做的问题：