正三角形 ΔEFG 内接于正方形 ABCD，已知 ΔEFG 面积的最大值为 4√3，求正方形的周长

popo987654

求思路

kanyikan

早年的一道数学竞赛题，跟这个题差不多

Ysu2008

思路就是让正方形的位置跟随正三角形面积的变化而变化。

luyuanhong

楼上 Ysu2008 的解答很好！已收藏。

波斯猫猫

思路：设∠AEG=θ，AB=a，EF=EG=x，易得x[cosθ+cos（120°-θ）]=a，

即x=a/[cosθ+cos（120°-θ）]，或x=a/cos（60°-θ），其中45°≤θ≤75°。

根据余弦函数的单调性，有x≤a/cos（±15°），当且仅当θ=45°或θ=75°时等号成立。

由条件ΔEFG 面积的最大值为 4√3易得x≤4。故a=4cos15°。周长4a=16cos15°。

王守恩

\(1，由正三角形面积，可得正三角形边长。\)
   \(4\sqrt{3}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{3x(3x-2x)(3x-2x)(3x-2x)}=\sqrt{3}x^2\)
\(2，由正三角形边长=4，可得正方形对角线长=2(1+\sqrt{3})。\)
\(3，由正方形对角线长，可得正方形边长=\sqrt{2}(1+\sqrt{3})。\)

正三角形的一个顶点和正方形的一个顶点重合是必须的：3楼说得很清楚了。