P 是 ΔABC 的 BC 边上一点，ΔYAC,ΔXCP,ΔZAB 正相似，求证 XYZ 共线，XY/XZ=PC/PB

denglongshan · 发表于 2021-5-25 22:58

《初等数学复习及研究（平面几何）》的第四章习题

向量商的好素材

denglongshan · 发表于 2021-6-7 22:33

很难吗？没人会证明？

creasson · 发表于 2021-6-8 10:42

本题并不算难，另提几个问题，试下你的向量商是否比较简便解决：
1. 费尔巴哈定理：三角形的九点圆与三角形的内切圆、旁切圆相切。
2. 蝴蝶定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
3. 莫莱定理：在三角形中贴近于三边的内角三等分线两两相交，三个交点是正三角形顶点。
4. 马尔法蒂问题：在三角形内作三个圆,两两相切,且与三角形的两边相切。
5. 求伪内切圆的圆心及半径：与三角形的两条边相切，并与三角形的外接圆内切的圆称为三角形的伪内切圆。
6. 求两个相离的圆的外公切线。

creasson · 发表于 2021-6-8 10:49

本帖最后由 creasson 于 2021-6-8 10:52 编辑

denglongshan · 发表于 2021-6-10 22:04

本帖最后由 denglongshan 于 2021-6-10 22:12 编辑

谢谢老师的关注，第六问题用向量商比较方便。

假设圆O1和O2的半径分别是r1和r2,\(由\frac{\overrightarrow{PO_2}}{\overrightarrow{PO_1}}=-\frac{r_2}{r_1},可以求得p=\frac{o_2+\frac{r_2}{r_1}o_1}{1+\frac{r_2}{r_1}},由\frac{\overrightarrow{T_1P}}{\overrightarrow{T_1O_1}}=\frac{T_1P}{r_1}i，可以求出T _1,于是可以求出上公切线，下公切线类似。\)

creasson · 发表于 2021-6-11 10:24

creasson 发表于 2021-6-8 10:49

是Mathematica程序，很大的，如果要用，网上可以找资源下载安装。\lamda即为有向线段比值，为实数。

denglongshan · 发表于 2021-6-11 21:09

denglongshan 发表于 2021-6-10 22:04
谢谢老师的关注，第六问题用向量商比较方便。

假设圆O1和O2的半径分别是r1和r2,\(由\frac{\overrightarr ...

有什么更好的方法？Mathematical已经下载，可是抄你的程序无法运行

Future_maths · 发表于 2021-7-9 13:54

楼主有这本书的电子版吗？能否分享一下？
《初等数学复习及研究（平面几何）》

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P 是 ΔABC 的 BC 边上一点，ΔYAC,ΔXCP,ΔZAB 正相似，求证 XYZ 共线，XY/XZ=PC/PB

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