对数积分公式推导

yangchuanju · 发表于 2021-5-27 22:21

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-5-28 22:11 编辑

对数积分公式推导（一）
计算k生素数种类数时总要用到一些对数积分，对数积分如何计算？
∫(ln ax)^n*dx 算是比较简单的一种，各类k生素数的公式计算公式都涉及到它，故本文从此入手。

利用《数学手册》中给出的对数积分公式推导如下，
查积分表：∫(ln ax)^n*dx = x(ln ax)^n-n*∫(ln ax)^(n-1)*dx 或 (-1)^n*n!*x*Σ[(-1)^r*(ln x)^r/r!]
上式中n≠-1，和号下限是r=0，上限是n；“或”字后没有a了，不管二个公式对错，对于k生素数计算公式中的a应等于1，n=-k。
上面的和号不能用于负数n，和式对于计算k生素数个数无用。

以孪生素数为例
查积分表：∫(ln ax)^n*dx = x(ln ax)^n-n*∫(ln ax)^(n-1)*dx
上式中n≠-1，和号下限是r=0，上限是n；对于孪生素数计算公式中的a应等于1，n=-2
∫(ln x)^(-2)*dx = x*(ln x)^(-2) - 2*∫(ln x)^(-3)*dx
∫(ln x)^(-3)*dx = x*(ln x)^(-3) - 3*∫(ln x)^(-4)*dx
∫(ln x)^(-4)*dx = x*(ln x)^(-4) - 4*∫(ln x)^(-5)*dx
……
∫(ln x)^(-2)*dx = x*(ln x)^(-2)-2*∫(ln x)^(-3)*dx
= x*(ln x)^(-2)-2*{x*(ln x)^(-3)-3*∫(ln x)^(-4)*dx}
= x*(ln x)^(-2)-2*{x*(ln x)^(-3)+3*[x*(ln x)^(-4)-4*∫(ln x)^(-5)*dx]}
=……
∫(ln x)^(-2)*dx
= x*(ln x)^(-2) -2*x*(ln x)^(-3) +6*x*(ln x)^(-4) -24*∫(ln x)^(-5)*dx
= 1!*x*(ln x)^(-2) -2!*x*(ln x)^(-3) +3!*x*(ln x)^(-4) -4!*x*(ln x)^(-5)+……
= x*Σ(-1)^(k-1)*k!*(ln x)^[-2-(k-1)]  或=x*Σ(-1)^(k-1)*k!/(ln x)^[2+(k-1)]
= x*Σ(-1)^(k-1)*k!*(ln x)^[n-(k-1)]  或=x*Σ(-1)^(k-1)*k!/(ln x)^[-n+(k-1)]
= x*Σ(-1)^(k-1)*k!*(ln x)^(n-k+1)  或=x*Σ(-1)^(k-1)*k!/(ln x)^(-n+k-1)
对于孪生素数式中n=-2，k的取值从1到正无穷大。

验证指数：k=1, n+k-1= -2-1+1= -2;  k=2, n-k+1= -2-2+1= -3;  k=3, n-k+1= -2-3-1= -4；指数表达式可用。
∫(ln x)^(-2)*dx=x*Σ(-1)^(k-1)*k!/(ln x)^(-2-k+1)=x/ln(x)^2*Σ(-1)^(k-1)*k!/(ln x)^(k-1)

【附注】昨发本帖有错误，后半部分内容已删除！

yangchuanju · 发表于 2021-5-27 22:26

对数积分公式推导（二）
《数学手册》（数学手册编写组  高等教育出版社  1979年5月第1版 1984年6月第4次印刷）276页第2-3行给出的第5个不定积分公式是：
被积函数f(x)：    ln(ax)^n  (n≠-1)
不定积分∫f(x) dx： x*ln(ax)^n – n*∫(ln(ax))^(n-1) dx
                     或 (-1)^n*n!*x*Σ(-1)^r*ln(x)^r/r!
Σ的下界r=0，上界是n；积分常数C均略去未写。

两点疑问：
（1）“或”后的式子是整个积分式，还是积分式的第2项？
（2）“或”后的式子中的“a”怎么没有了？

（1）令n=0，∫ln(ax)^n dx = ∫ln(ax)^0 dx = ∫1 dx = x +C；
（2）令n=1，∫ln(ax)^n dx = ∫ln(ax)^1 dx = ∫ln(ax) dx = x*ln(ax) –x +C；（上书275页倒数第4行第1个不定积分公式）
（3）令n=2，∫ln(ax)^n dx = ∫ln(ax)^2 dx =  x*ln(ax)^2 -2*x*ln(ax) +2*x +C；（上书275页倒数第1行第4个不定积分公式）

按递推公式：
（4）当n=0时，∫ln(ax)^0 dx = x*ln(ax)^0 – 0*∫(ln(ax))^(0-1) dx = x  （C省略未写，该式与（1）相同）；
（5）或等于(-1)^n*n!*ax*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/r! =(-1)^0*0!*ax*(-1)^0*ln(ax)^0/0!
=1*1*ax*1*1=ax  （这里先添加了x的系数a，以下7,9式相同，也添加了a）。

（6）当n=1时，∫ln(ax)^1 dx = x*ln(ax)^1 – 1*∫(ln(ax))^(1-1) dx
= x*ln(ax) - ∫1 dx = x*ln(ax) -x （C省略未写，该式与（2）相同）；
（7）或等于(-1)^n*n!*ax*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/r!
= (-1)^1*1!*ax*[(-1)^0*ln(ax)^0/0! + (-1)^1*ln(ax)^1/1!]
= -1*1*ax*[1*1/1-ln(ax)] =ax*ln(ax) -ax

（8）当n=2时，∫ln(ax)^2dx = x*ln(ax)^2 – 2*∫(ln(ax))^(2-1) dx
= x*ln(ax)^2 – 2*∫ln(ax) dx = x*ln(ax)^2 -2*[x*ln(ax) –x]
= x*ln(ax)^2 -2*x*ln(ax) +2*x（C省略未写，该式与（3）相同）；
（9）或等于(-1)^n*n!*ax*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/r!
=(-1)^2*2 !*ax*[(-1)^0* ln(ax)^0/0! + (-1)^1*ln(ax)^1/1! +(-1)^2*ln(ax)^2/2!]
=2*ax*[1*1/1 – ln(ax) + ln(ax)^2/2] =2*ax – 2*ax*ln(ax) +ax*ln(ax)^2 = ax*ln(ax)^2 -2*ax*ln(ax) +2*ax

比较（4）—（9）与（1）—（3）式，第1个疑问得到解决，“或”后的式子就是“或”前式子的另一种形式；
在“或”后的式子中添加x的系数a后，所有积分式各项均增加了一个系数a，大了a倍；但不加系数a，积分式各项中的ln项又没有了a，看来应将“或”后的式子改为  或 (-1)^n*n!*x*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/r!  才对！
当使用这些积分式就是素数个数、k生素数种类数时，a都是1，两式倒是相同的。

yangchuanju · 发表于 2021-5-27 22:27

对数积分公式推导（三）
《数学手册》（数学手册编写组  高等教育出版社  1979年5月第1版 1984年6月第4次印刷）276页第5-6行给出的第7个不定积分公式是：
被积函数f(x)： x^n* ln(ax)^m  (n≠-1)
不定积分∫f(x) dx： x^(n+1)/(n+1)*ln(ax)^m – m/(n+1)*∫x^n*(ln(ax))^(m-1) dx
                     或 (-1)^m*m!/(n+1)*x^(n+1)*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/[r!* (n+1)^(m-r)]
Σ的下界r=0，上界是m；积分常数C均略去未写。

疑问：“或”后的式子中的“a”怎么没有了？

（1）令m=0，n=0，∫x^n* ln(ax)^m dx = x^(n+1)/(n+1)*ln(ax)^m – m/(n+1)*∫x^n*(ln(ax))^(m-1) dx
= x^1/1*ln(ax)^0 -0/1*∫… = x  （常数C省略未写）
（2）令m=0，n=1，∫x^n* ln(ax)^m dx = x^(n+1)/(n+1)*ln(ax)^m – m/(n+1)*∫x^n*(ln(ax))^(m-1) dx
=x^2/2*ln(ax)^0 – 0/2*∫… = x^2/2  （常数C省略未写）
被积函数只要m=0，就变成另一类简单积分：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1)+C，不再讨论。

（3）令m=1，n=0，∫x^n* ln(ax)^m dx = x^(n+1)/(n+1)*ln(ax)^m – m/(n+1)*∫x^n*(ln(ax))^(m-1) dx
=x^1/1*ln(ax)^1 – 1/1*∫x^0*ln(ax)^0 dx = x*ln(ax) - ∫1 dx = x*ln(ax) +x +C
（4）令m=2，n=0，∫x^n* ln(ax)^m dx = x^(n+1)/(n+1)*ln(ax)^m – m/(n+1)*∫x^n*(ln(ax))^(m-1) dx
=x^1/1*ln(ax)^2 – 2/1*∫x^0*ln(ax)^1 dx = x*ln(ax)^2 – 2*∫ln(ax) dx =x*ln(ax)^2 –2*x*ln(ax) + 2*x +C
被积函数只要n=0，就回到上一个类型的积分中，不再重复讨论。

（5）令m=1，n=1，∫x^n* ln(ax)^m dx = x^(n+1)/(n+1)*ln(ax)^m – m/(n+1)*∫x^n*(ln(ax))^(m-1) dx
=x^2/2*ln(ax) – 1/2*∫x*ln(ax)^0 dx = x^2*ln(ax)/2 – x^2/4 +C
（6）令m=1，n=2，∫x^n* ln(ax)^m dx = x^(n+1)/(n+1)*ln(ax)^m – m/(n+1)*∫x^n*(ln(ax))^(m-1) dx
=x^3/3*ln(ax) – 1/3*∫x^2*ln(ax)^0 dx = x^3*ln(ax)/3 – x^3/9 +C
综合（3）、（5）、（6），被积函数只要m=1，就变成另一类较简单积分：
∫x^n*ln(ax) dx =x^(n+1)/(n+1)*ln(ax) – x^(n+1)/(n+1)^2  n≠-1。（上书276页第3行的第6个不定积分式）

本类问题，m不能是负数，n可以是-1以外的任意整数。
（7）令m=2，n=1，∫x^n* ln(ax)^m dx = x^(n+1)/(n+1)*ln(ax)^m – m/(n+1)*∫x^n*(ln(ax))^(m-1) dx
∫x * ln(ax)^2 dx = x^2/2*ln(ax)^2 – 2/2*∫x*ln(ax) dx = x^2*ln(ax)^2/2 – x^2*ln(ax)/2 + x^2/4
（8）或等于(-1)^m*m!/(n+1)*x^(n+1)*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/[r!* (n+1)^(m-r)]  （先行添加上x的系数a）
= (-1)^2*2!/2*x^2*[(-1)^0*ln(ax)^0/0!/2^2 + (-1)^1*ln(ax)^1/1!/2^1 + (-1)^2*ln(ax)^2/2 !/2^0]
=x^2*[1/4 – ln(ax)/2 + ln(ax)^2/2] = x^2*ln(ax)^2/2 – x^2*ln(ax) + x^2/4  二式相同

（9）令m=2，n=2，∫x^n* ln(ax)^m dx = x^(n+1)/(n+1)*ln(ax)^m – m/(n+1)*∫x^n*(ln(ax))^(m-1) dx
∫x^2 * ln(ax)^2 dx = x^3/3*ln(ax)^2 – 2/3*∫x^2 *ln(ax) dx = x^3*ln(ax)^2/3 -2/3*[x^3/3*ln(ax)-x^3/9]
= x^3*ln(ax)^2*1/3 – x^3*ln(ax)*2/9 + x^3*2/27
（10）或等于(-1)^m*m!/(n+1)*x^(n+1)*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/[r!* (n+1)^(m-r)]  （先行添加上x的系数a）
=(-1)^2*2 !/3*x^3*[ln(ax)^0/0 !/3^2 – ln(ax)^1/1!/3^1 +ln(ax)^2/2 !/3^0]
=2/3*x^3*[1/9 – ln(ax)/3 + ln(ax)^2/2] = x^3*ln(ax)*1/3 - x^3*ln(ax)*2/9 + x^3*2/27  二式相同

从计算式（7）和（8），（9）和（10）的对比看，“或”行公式Σ后的 ln(x)^r还是应该改为ln(ax)^r的，《数学手册》中的积分公式漏掉了系数“a”。不过在基数k生素数种类数是，对数项中的参变数没有系数，未涉及a，可变本公式的ax都改成x即可。
以上（4）、（7）和（9）式已分别计算了m=2, n=0,1,2三种情况，下面再计算m=2时n=3，4和n=-1，-2，-3几种情况。

（11）令m=2，n=3，∫x^n* ln(ax)^m dx = (-1)^m*m!/(n+1)*x^(n+1)*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/[r!* (n+1)^(m-r)]
=(-1)^2*2 !/4*x^4*[ln(ax)^0/0 !/4^2 – ln(ax)^1/1!/4^1 +ln(ax)^2/2 !/4^0]
=2/4*x^4*[1/16 – ln(ax)/4 + ln(ax)^2/2] = x^4*ln(ax)*1/4 - x^4*ln(ax)*1/8 + x^3*1/32

yangchuanju · 发表于 2021-5-27 22:28

（阶上楼）
以上分别计算了几个特例，并确定和式中的参变量ln(x)应改为ln(ax)，下面分别固定m或n，可将积分式适当简化一点点；
已知本类问题，m不能是负数，n可以是-1以外的任意整数。
（11）令m=0，积分式变为：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) 或 1/(n+1)*x^(n+1)
（12）令m=1，积分式变为：∫x^n*ln(ax) dx = x^(n+1)/(n+1)*ln(ax) – 1/(n+1)*∫x^n dx = x^(n+1) *ln(ax) /(n+1) –x^(n+1)/(n+1)^2
或∫x^n*ln(ax) dx = -1/(n+1)*x^(n+1)*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/[r!* (n+1)^(1-r)] r=0,1
（12）令m=2，积分式变为：∫x^n*ln(ax)^2 dx = x^(n+1)/(n+1)*ln(ax)^2 – 2/(n+1)*∫x^n*ln(ax) dx = x^(n+1) *ln(ax)^2/(n+1) –2*x^(n+1) *ln(ax) /(n+1)^2 + 2* x^(n+1)/(n+1)^3
或∫x^n*ln(ax) dx = 1/(n+1)*x^(n+1)*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/[r!* (n+1)^(1-r)] r=0,1,2

（13）令n=0，积分式变为：∫ln(ax)^m dx = x*ln(ax)^m – m*∫(ln(ax))^(m-1) dx
或 (-1)^m*m!*x*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/r!
（14）令n=1，积分式变为：∫x*ln(ax)^m dx = x^2/2*ln(ax)^m – m/2*∫x*(ln(ax))^(m-1) dx
或 (-1)^m*m!/2*x^2*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/r!/2^(m-r)
（15）令n=2，积分式变为：∫x^2*ln(ax)^m dx = x^3/3*ln(ax)^m – m/3*∫x^n*(ln(ax))^(m-1) dx
或 (-1)^m*m!/3 *x^3*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/[r!* 3^(m-r)]
（16）令n=3，积分式变为：∫x^3*ln(ax)^m dx = x^4/4*ln(ax)^m – m/4*∫x^n*(ln(ax))^(m-1) dx
或 (-1)^m*m!/4 *x^3*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/[r!* 4^(m-r)]

（17）令n=-2，积分式变为：∫x^(-2)*ln(ax)^m dx = -x^(-1)*ln(ax)^m + m*∫x^(-2)*(ln(ax))^(m-1) dx
或- (-1)^m*m! *x^(-1)*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/[r!*(-1)^(m-r)]
（18）令n=-3，积分式变为：∫x^(-3)*ln(ax)^m dx = -x^(-2)/2*ln(ax)^m + m/2*∫x^(-3)*(ln(ax))^(m-1) dx
或 -(-1)^m*m!/2 *x^(-2)*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/[r!*(-2)^(m-r)]
（19）令n=-4，积分式变为：∫x^(-4)*ln(ax)^m dx = -x^(-3)/3*ln(ax)^m + m/3*∫x^(-3)*(ln(ax))^(m-1) dx
或 -(-1)^m*m!/3 *x^(-2)*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/[r!*(-3)^(m-r)]

yangchuanju · 发表于 2021-5-27 22:29

对数积分公式推导（四）
x与ln(x)的各种组合积分
被积函数为x和ln(x)的组合共有以下种：
x、ln(x)、1/x、1/ln(x)、x*ln(x)、x/ln(x)、ln(x)/x、1/[x*ln(x)]八种基本形式
（1）∫x dx = x^2/2 +C
（2）∫ln(x) dx = x*ln(x) –x +C
（3）∫1/x dx = ln(x) +C
（4）∫1/ln(x) dx = ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +… +C
（5）∫x*ln(x) dx = x^2*ln(x)/2 – x^2/4 +C
（6）∫x/ln(x) dx = ?
城嫣岑天路                   这个积分是及（求）不出来的.你一定是在别的问题中遇到了这个问题,并且求定积分的问题.这个要靠求等式中其他函数的积分来得到.不是直接积出来.
（7）∫ln(x)/x dx = ln(x)/2 +C
（8）∫1/(x*ln(x)) dx = ln |ln(x)| +C  x≠1
在上述各个积分中，若x项的指数是2,3，……n时的积分式是什么样子？
（9）∫x^2 dx =
（10）∫1/x^2 dx =
（11）∫x^2*ln(x) dx =
（12）∫x^2/ln(x) dx =
（13）∫ln(x)/x^2 dx =
（14）∫1/(x^2*ln(x)) dx =
（15）∫x^3 dx =
（16）∫1/x^3 dx =
（17）∫x^3*ln(x) dx =
（18）∫x^3/ln(x) dx =
（19）∫ln(x)/x^3 dx =
（20）∫1/(x^3*ln(x)) dx =
……
（21）∫x^n dx =
（22）∫1/x^n dx =
（23）∫x^n*ln(x) dx =
（24）∫x^n/ln(x) dx =
（25）∫ln(x)/x^n dx =
（26）∫1/(x^n*ln(x)) dx =
在上述各个积分中，若ln(x)项的指数是2,3，……m时的积分式是什么样子？
（27）∫ln(x)^2 dx =
（28）∫1/ln(x)^2 dx =
（29）∫x*ln(x)^2 dx =
（30）∫x/ln(x)^2 dx =
（31）∫ln(x)^2/x dx =
（32）∫1/(x*ln(x) ^2) dx =
（33）∫ln(x)^3 dx =
（34）∫1/ln(x)^3 dx =
（35）∫x*ln(x)^3 dx =
（36）∫x/ln(x)^3 dx =
（37）∫ln(x)^3/x dx =
（38）∫1/(x*ln(x) ^3) dx =
……
（39）∫ln(x)^m dx =
（40）∫1/ln(x)^m dx =
（41）∫x*ln(x)^m dx =
（42）∫x/ln(x)^m dx =
（43）∫ln(x)^m/x dx =
（44）∫1/(x*ln(x)^m) dx =
在前述各个积分中，若x项的指数是n，ln(x)项的指数是m时的积分式是什么样子？
（45）∫x^n*ln(x)^m dx =
（46）∫x^n/ln(x)^m dx =
（47）∫ln(x)^m/x^n dx =
（48）∫1/(x^n*ln(x)^m) dx =

只要能解出以下8种复合类型，其余（9）—（44）中的其余各式大多数可解。
（21）∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) +C
（22）∫1/x^n dx = x^(-n+1)/(-n+1) +C  式中n≠1
（39）∫ln(x)^m dx = x*ln(x)^m –m*∫ln(x)^(m-1) dx 或(-1)^m*m !*x*Σ(-1)r*ln(x)^r/r! +C 式中m≠-1，和号下上界r=0--m
（40）∫1/ln(x)^m dx = -x/(m-1)/ln(x)^(m-1) + 1/(m-1)* ∫1/ln(x)^(m-1) dx  式中m≠1 【令（46）中的n=0可得】
（45）∫x^n*ln(x)^m dx = x^(n+1)/(n+1)*ln(x)^m –m/(n+1)* ∫x^n*ln(x)^(m-1) dx 【令式中n=0，简化成（39），令m=0，简化成（21）】
或 (-1)^m*m!/(n+1)*x^(n+1)* Σ(-1)^r*ln(x)^r/r!/(n+1)^(m-r) +C  式中n≠-1，和号下上界r=0--m
（46）∫x^n/ln(x)^m dx = -x^(n+1)/(m-1)/ln(x)^(m-1) + (n+1)/(m-1)* ∫x^n/ln(x)^(m-1) dx  式中m≠1
（47）∫ln(x)^m/x^n dx =    【令（45）中的n取负值即可得，但（45）中的n≠-1，在这里n≠1】
（48）∫1/(x^n*ln(x)^m) dx = 【令（46）中的n取负值即可得，但（46）中的n≠-1，在这里n≠1】

yangchuanju · 发表于 2021-5-27 22:30

对数积分公式推导（五）
（45）∫x^n*ln(x)^m dx与（46）∫x^n/ln(x)^m dx的对比与分析

（45）∫x^n*ln(x)^m dx = x^(n+1)/(n+1)*ln(x)^m –m/(n+1)* ∫x^n*ln(x)^(m-1) dx
或 (-1)^m*m!/(n+1)*x^(n+1)* Σ(-1)^r*ln(x)^r/r!/(n+1)^(m-r) +C
式中n≠-1，和号下上界r=0—m；积分式仅得n做了限定，n≠-1；对m虽未做限定，但积分式中含有m的阶乘m！，m不能为负数。
而（46）式∫x^n/ln(x)^m dx刚好把ln(x)^m放到了分母上。
《数学手册》给出的积分式是
∫x^n/ln(x)^m dx = -x^(n+1)/(m-1)/ln(x)^(m-1) + (n+1)/(m-1)* ∫x^n/ln(x)^(m-1) dx  式中m≠1，没有累加积分式。
两积分式相比，两大项都向差一个正负号，常数项的分母（45）式是（n+1），而（46）式是（m-1）。
递推：
∫x^n/ln(x)^m dx = -x^(n+1)/(m-1)/ln(x)^(m-1) + (n+1)/(m-1)* ∫x^n/ln(x)^(m-1) dx
∫x^n/ln(x)^(m-1) dx = -x^(n+1)/(m-2)/ln(x)^(m-2) + (n+1)/(m-2)* ∫x^n/ln(x)^(m-2) dx
∫x^n/ln(x)^(m-2) dx = -x^(n+1)/(m-3)/ln(x)^(m-3) + (n+1)/(m-3)* ∫x^n/ln(x)^(m-3) dx
…………
∫x^n/ln(x)^m dx = - x^(n+1)/(m-1)/ln(x)^(m-1) + (n+1)/(m-1)* ∫x^n/ln(x)^(m-1) dx
= - x^(n+1)/(m-1)/ln(x)^(m-1)
+ (n+1)/(m-1)*{ -x^(n+1)/(m-2)/ln(x)^(m-2) + (n+1)/(m-2)* ∫x^n/ln(x)^(m-2) dx}
= - x^(n+1)/(m-1)/ln(x)^(m-1)
+ (n+1)/(m-1)*{ -x^(n+1)/(m-2)/ln(x)^(m-2)
+ (n+1)/(m-2)*[ -x^(n+1)/(m-3)/ln(x)^(m-3) + (n+1)/(m-3)* ∫x^n/ln(x)^(m-3) dx]}
=……
直到最内层ln(x)的指数等于1，∫x^n/ln(x) dx =？
∫x /ln(x) dx尚无简单积分法，∫x^n/ln(x) dx更是不能用简单方法积分；故（46）虽给出了一个递推积分式，但无法积分到底！

yangchuanju · 发表于 2021-5-27 22:30

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-5-28 16:45 编辑

对数积分公式推导（六）
孪生素数个数计算简捷公式：
《数学手册》（数学手册编写组  高等教育出版社  1979年5月第1版 1984年6月第4次印刷）276页第10行给出的第11个不定积分公式是：
被积函数f(x)： x^n / ln(ax)^m  (m≠1)
不定积分∫f(x) dx： - x^(n+1)/(m-1)/ln(ax)^(m-1) – (n+1)/(m-1)*∫x^n/ln(ax)^(m-1) dx

令n=0，并消去系数a，被积函数f(x)变成： 1/ ln(x)^m  (m≠1)
不定积分∫f(x) dx变成：    - x/(m-1)/ln(x)^(m-1) – 1/(m-1)*∫1/ln(x)^(m-1) dx
再令m=2，被积函数f(x)变成： 1/ ln(x)^2
不定积分∫f(x) dx变成：    - x/ln(x) – ∫1/ln(x) dx
即∫1/ln(x)^2 dx = -x/ln(x) + ∫1/ln(x) dx
= -x/ln(x) + ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…
截取前部若干项，并乘以1.320323632，当x不太小时可认为它就是孪生素数各式的计算公式。
该式收敛相当慢，当总项数达到102项时，x=10^8—10^14内，两者的比值为0.99995--1.00012。

yangchuanju · 发表于 2021-5-27 22:31

对数积分公式推导（七）
求助！！！
哪位老师能给出∫x /ln(x) dx和∫x^n/ln(x) dx的解？

yangchuanju · 发表于 2021-5-28 05:15

K生素数个数公式
各种K生素数个数计算公式都涉及一个重要积分∫(ln ax)^n*dx，该被积函数积分后得：
∫(ln ax)^n*dx = x(ln ax)^n-n*∫(ln ax)^(n-1)*dx 或 (-1)^n*n!*x*Σ[(-1)^r*(ln ax)^r/r!]
式中n≠-1，和号下限是r=0，上限是n。
假定n≥0，则使用累加积分式即可，但K生素数个数所涉及的积分公式中的n≤-1，不能使用累加积分式，但使用递推积分式时，积分后项数为无穷多项。
《对数积分公式推导（一）》之中笔者虽推导出一个累加积分式，遗憾的是，它也是无穷多项的。

对于素数，被积函数是1/ln(x)，采用其它的积分法可得：
∫1/ln(x) dx = ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2 !) +ln(x)^3/(3*3!) +…，无穷多项；
经验证，当ln(x)的指数取到100时，在x等于10^9-10^22期间累加值与实际值的比精确到1.0000334408 —0.9999999999；若指数取更多项，10^22以后的精度还会提高。
x 累加值素数实际比值
10 5.58838384 1 4 1.3970959600
100 29.5489259 2 25 1.1819570368
1000 177.032442 3 168 1.0537645377
10000 1245.56 4 1229 1.0134743696
100000 9629.23179 5 9592 1.0038815456
1000000 78626.9719 6 78498 1.0016429966
10000000 664917.828 7 664579 1.0005098383
100000000 5762208.8 8 5761455 1.0001308347
1E+09 50849234.4 9 50847534 1.0000334408
1E+10 455055614 10 455052511 1.0000068190
1E+11 4118066400 11 4118054813 1.0000028137
1E+12 3.7608E+10 12 37607912018 1.0000010174
1E+13 3.4607E+11 13 346065536839 1.0000003149
1E+14 3.2049E+12 14 3204941750802 1.0000000983
1E+15 2.9845E+13 15 29844570422669 1.0000000353
1E+16 2.7924E+14 16 279238341033925 1.0000000115
1E+17 2.6236E+15 17 2623557157654233 1.0000000030
1E+18 2.474E+16 18 24739954287740860 1.0000000009
1E+19 2.3406E+17 19 234057667276344607 1.0000000004
1E+20 2.2208E+18 20 2220819602560918840 1.0000000001
1E+21 2.1127E+19 21 21127269486018731928 1.0000000000
1E+22 2.0147E+20 22 201467286689315906290 0.9999999999
1E+23 1.9253E+21 23 1925320391606803968923 0.9999999985
1E+24 1.8436E+22 24 18435599767349200867866 0.9999999883
1E+25 1.7685E+23 25 176846309399143769411680 0.9999999208
1E+26 1.6992E+24 26 1699246750872437141327603 0.9999995452
1E+27 1.6352E+25 27 16352460426841680446427399 0.9999977492
1E+28 1.5759E+26 28 157589269275973410412739598 0.9999902919

yangchuanju · 发表于 2021-5-28 05:15

对于孪生素数，被积函数是1/ln(x)^2，采用《对数积分公式推导（四）》中的（40）式，
∫1/ln(x)^m dx = -x/(m-1)/ln(x)^(m-1) + 1/(m-1)* ∫1/ln(x)^(m-1) dx 式中m≠1
令m=2得
∫1/ln(x)^2 dx = -x/ln(x) +∫1/ln(x) dx
= -x/ln(x) + ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…
与素数积分式相比，只多了一项“-x/ln(x)”，也是无穷多项的。
当ln(x)的指数取到100时，在x等于10^8-10^18期间累加值与实际值的比精确到1.000119466 —1.000000016；计算结果如下：，
x 累加值孪生素数实际比值
10 1.644383 1 2 2.79419192
100 10.34368 2 8 1.292960226
1000 42.60369 3 35 1.217248419
10000 211.0191 4 205 1.02936163
100000 1245.517 5 1224 1.017579191
1000000 8244.838 6 8169 1.009283619
10000000 58750.62 7 58980 0.996110965
1E+08 440364.6 8 440312 1.000119466
1E+09 3425305 9 3424506 1.000233308
1E+10 27411413 10 27412679 0.99995383
1E+11 2.24E+08 11 224376048 0.999967971
1E+12 1.87E+09 12 1870585220 0.999986445
1E+13 1.58E+10 13 15834664872 0.999995796
1E+14 1.36E+11 14 135780321665 0.999999582
1E+15 1.18E+12 15 1177209242304 0.999999363
1E+16 1.03E+13 16 10304195697298 0.999999695
1E+17 9.09E+13 17 90948839353159 0.999999933
1E+18 8.09E+14 18 808675888577436 1.000000016

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