抛掷一枚硬币，直到连续出现奇数次正面，再出现一次反面为止，求所需抛掷次数的期望值

myyour

抛掷一枚均匀的硬币，若连续出现奇数次正面（+），再出现一次反面（-）则结束，否则继续抛。
例如：
+++-（4次）结束
++-+-（5次）继续，
-++-+++++-（10次）结束等。
问：平均抛掷多少次硬币才会结束？

Nicolas2050

1次（奇数）算特例？+-（2次）结束。

Nicolas2050

:6

Nicolas2050

=6

Nicolas2050

记录无穷次抛硬币，构成一个无穷长的由“-”“+”随机构成的字符串。

“-+-”组合出现的概率为(1/2)^3
“-+++-”组合出现的概率为(1/2)^5
“-+++++-”组合出现的概率为(1/2)^7
“-+++++++-”组合出现的概率为(1/2)^9……
无穷等比数列求和，结果为1/6

luyuanhong

cgl_74

我的答案是，由于无论扔多少次硬币，总存在1/3的概率不能成功退出的。按照数学期望的性质，这个平均期望次数趋于无穷大，或者是不存在。
论证过程见附件图片。


不知道如何发图片，就发在附件里了。

luyuanhong

楼上计算到 i=5 时，就不对了。

楼上只给出了 2 种情况： （-，+，+，+，-） ，（-，-，-，+，-） 。其实还有 1 种：（+，+，-，+，-） 。

所以，i=5 时，Pi = 3/2^5 。

i=6 时，有下列 5 种情况：

（-，-，-，-，+，-），（-，-，+，+，+，-），（-，+，+，-，+，-），（+，+，-，-，+，-），（+，+，+，+，+，-） 。

所以，i=6 时，Pi=5/2^6 。

由此可见，楼上给出的  i 为偶数时，Pi=(1/2)^i (i/2) ，i 为奇数时，Pi=(1/2)^i (i-1)/2 的公式是不对的。

cgl_74

感谢luyuanhong指出的错误之处！有人一起讨论，比自己单独想，是要好很多的。

cgl_74

cgl_74 发表于 2021-6-13 18:26
感谢luyuanhong指出的错误之处！有人一起讨论，比自己单独想，是要好很多的。

另外，luyuanhong提供的解答过程，我现在还理解不了。
我修正了概率计算中的疏漏，验证了概率和确实为1，再计算数学期望。
具体论证过程见附件图片。