已知 x,y,z 为质数，证明：方程 9x^2-4y^2=5×3z^2 只有唯一解 (x,y,z)=(3,3,2)

popo987654

想知道怎样证明这个方程只有唯一解(3,3,2)?

波斯猫猫

题：已知x、y、z为质数，解方程9x^2-4y^2=5*3^z。

思路：因x,y,z为质数,，由9x^2-4y^2=5*3^z有4y^2=9[x^2-5*3^(z-2)]，故y=3。

从而，x^2-4=5*3^(z-2)，即（x+2）（x-2）=5*3^(z-2)。

又（x+2）-（x-2）=4，故x+2与x-2不可能都被3整除。

所以，有x+2=5，x-2=3^(z-2)，或x+2=3^(z-2)，x-2=5。解得x=3，z=2，或x=7，z=4（合数）。

所以，当x、y、z为质数时，方程9x^2-4y^2=5*3^z仅有解(x，y，z)=(3，3，2)。

luyuanhong

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