n 为奇时，f=m^((n+1)/2)／2，n 为偶时，f=(m+1)m^(n/2)／4，用取整函数写成一个式子

天山草

已知 \(m\) 和 \(n\) 都是正整数，\(f(m,n)\) 是它们的二元函数：

当 \(n\) 是奇数时， \( f(m,n)=\frac{1}{2}m^\frac{n+1}{2}\)，

当 \(n\) 是偶数时， \( f(m,n)=\frac{m+1}{4}m^\frac{n}{2}\)。

如何用取整函数把上面两个表达式写成一个公式？

答案是有的，先不公布，目的是抛砖引玉，想看看各位大侠有哪些不同的答案。

luyuanhong

天山草

经检验，上面陆教授的公式没有问题。

试试下面更简单的公式：




之前王守恩写过一个类似的公式，但是有点毛病，我是瞎试了几下，偶然发现了上面这个公式正确。

luyuanhong

楼上 天山草 的帖子很好！已收藏。

王守恩

天山草 发表于 2021-7-2 10:32
经检验，上面陆教授的公式没有问题。

试试下面更简单的公式：

\(\frac{m^{\lfloor\frac{2n+2}{4}\rfloor}+m^{\lfloor\frac{2n+4}{4}\rfloor}}{4}\equiv\frac{m^{\lbrack\frac{2n+1}{4}\rbrack}+m^{\lbrack\frac{2n+3}{4}\rbrack}}{4}\equiv\frac{m^{\lceil\frac{2n+0}{4}\rceil}+m^{\lceil\frac{2n+2}{4}\rceil}}{4}\)

王守恩

天山草 发表于 2021-7-2 10:32
经检验，上面陆教授的公式没有问题。

试试下面更简单的公式：

\(\frac{m^{\lfloor\frac{2n+2}{4}\rfloor}+m^{\lfloor\frac{2n+4}{4}\rfloor}}{m}\equiv\frac{m^{\lbrack\frac{2n+1}{4}\rbrack}+m^{\lbrack\frac{2n+3}{4}\rbrack}}{m}\equiv\frac{m^{\lceil\frac{2n+0}{4}\rceil}+m^{\lceil\frac{2n+2}{4}\rceil}}{m}\equiv\)LinearRecurrence[{0, m}, {2, m + 1}, n]
《整数序列在线百科全书》不一定有。

天山草

主帖中的问题不是随便想出来的，而是有它的环排列数学问题背景！这个问题是：

有大小相同、共 m 种颜色的彩色珠子许多个，用这些彩珠穿成不同花色的手串，每个手串都有 n 颗珠子。

m、n 都是已知的常数，问能穿成多少种不同花色的手串？

类似的问题国内常新德老师（河南永城职业学院）曾于 2008 年前后发表过论文，见网页

https://max.book118.com/html/2017/0729/125132578.shtm

但他给出的公式是手串上的每种颜色的珠子各有几颗是固定数目。因此与上面的问题还有差别。上面问题的答案

数目更多，因为一条手串中的 n 颗珠子可以只用一种颜色、二种颜色、直至 m 种颜色都用到。

而在常新德的题目中，每条手串里的珠子包括了全部的 m 种颜色，每种颜色的珠子有几颗也是固定不变的。

天山草

有大小相同、共 m 种颜色的彩色珠子许多个，用这些彩珠穿成不同花色的手串，每个手串都有 n 颗珠子。

总共能穿成多少种不同花色的手串？

这个问题三年前我 (网名 TCS999) 曾在《数学研发》网站上提出，帖子名称是“彩色手串的配色计数”https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... amp;page=3#lastpost，

有 kastin 先生给出了这个问题的公式如下：




注：对于公式的后半部分，kastin 公式中对于 n 是偶数还是奇数，是分别表示成两个式子的，见本帖开头所述那样。后经王守恩统一合并成了上面公式的样子，这个合并搞得非常的好。