如图，已知 ∠ABC=90° ，∠ABD=45° ，BC=3√10 ，AD=5 ，求 AC

wintex

請問幾何

luyuanhong

波斯猫猫

提示：延长CB，作DE⊥CB于E，设AC=x，AB=y，DE=z，

则x/5=3√10/z，(x+5)/x=z/y，消去z得y（x+5）=15√10. 再由x＾2=y＾2+90消去y整理得，

（x-10）（x＾3+20x＾2+135x+450）=0，显然x＾3+20x＾2+135x+450=0不可能有正实数解，

故，x=10=AC。

王守恩

另类解法(虽然不好，总是一条路子)。
\(记AB=x\ \ 则AC=\sqrt{x^2+90}\)
\(记∠ABC的平分线交AC于E\)
根据角平分线定理:
\(EA=\frac{\sqrt{x^2(x^2+90)}}{x+\sqrt{90}}\ \ EC=\frac{\sqrt{90(x^2+90)}}{x+\sqrt{90}} \)
根据角不平均分线定理：
\(1\equiv\frac{EC*BD*\sin(90°)}{ED*BC*\sin(45°)}=\frac{AC*BD*\sin(45°)}{AD*BC*\sin(90°)}\equiv1\)
\(\frac{EC*BD*\sin(90°)}{ED*BC*\sin(45°)}=\frac{AC*BD*\sin(45°)}{AD*BC*\sin(90°)}\)
\(\frac{EC*\sin(90°)}{ED*\sin(45°)}=\frac{AC*\sin(45°)}{AD*\sin(90°)}\)

cgl_74

证明有误，先删除。

王守恩

简单方程，不简单解。
\(\frac{AC+5}{5}=\frac{\sqrt{90}}{\sqrt{AC^2-90}}\)
\(\frac{AC}{\sqrt{90}}=\frac{\sqrt{90}+\sqrt{140-AC^2}}{5+AC}\)
\(\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{90}}{DE+\sqrt{90}}=\frac{\sqrt{90+AB^2}}{5+\sqrt{90+AB^2}}\)
\(\frac{AC}{\sin(90°)}=\frac{\sqrt{90}}{\cos(a)}\ \ \frac{AC+5}{\sin(45°)}=\frac{\sqrt{90}}{\sin(45°-a)}\)
\(5^2+(5+AC)^2=(\sqrt{90}+\sqrt{140-AC^2})^2\)

波斯猫猫

王守恩 发表于 2021-7-2 12:11
简单方程，解不简单。
\(\frac{AC+5}{5}=\frac{\sqrt{90}}{\sqrt{AC^2-90}}\)

就是这个：y（x+5）=15√10. 再由x＾2=y＾2+90消去y得，（x＾2-90）（x+5）＾2=10x15＾2，

这就提示方程有一根为10，整理得（x-10）（x＾3+20x＾2+135x+450）=0，

显然x＾3+20x＾2+135x+450=0不可能有正实数解，故，x=10=AC。

wintex

cgl_74 发表于 2021-7-2 10:04
证明有误，先删除。

為何改成AD=BC =1, 45度改成30度，AC的長用你幾何方法得不出 AC＝3開立方

王守恩

cgl_74 发表于 2021-7-2 10:04
证明有误，先删除。

接5#：CBDD"是平行四边形，F是BD"的中点,E是DD"的中点，知A是△BDD"的重心，得AC=AD*2=10

王守恩

cgl_74 发表于 2021-7-2 10:04
证明有误，先删除。

看来这4次方程躲不了。
\(\frac{\sqrt{k^2+1}}{k(k-1)}=\frac{5}{\sqrt{90}}\ \ 解得k=3\)
AC=AD*(k-1)=10