已知 p,q 是质数，使得 p^2+3pq+q^2 等于某个整数的平方，求 p+q 的最大可能值

popo987654

求解题方向...

luyuanhong

波斯猫猫

题：已知 p,q 是质数，使得 p^2+3pq+q^2 等于某个整数的平方，求 p+q 的最大可能值 。

思路：由条件必存在自然数x，使得p^2+3pq+q^2=（p+q）^2+pq=（p+q+x）^2

=（p+q）^2+2x（p+q）+x^2，即pq=x（2p+2q+x）。

因p、q是质数，则x=1。否则将自相矛盾。故pq=2p+2q+1。

由对称性，不妨令p≥q，则pq=2p+2q+1≤4p+1，即p（q-4）≤1，亦即q≤4，或q=2、3。

将其代入pq=2p+2q+1中，只有当q=3时，解得p=7。故p+q=10。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。