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已知 p,q 是质数,使得 p^2+3pq+q^2 等于某个整数的平方,求 p+q 的最大可能值

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发表于 2021-7-2 22:21 | 显示全部楼层 |阅读模式


求解题方向...

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发表于 2021-7-2 23:46 | 显示全部楼层


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明白,谢谢老师详细的讲解  发表于 2021-7-3 12:29
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发表于 2021-7-3 09:14 | 显示全部楼层
题:已知 p,q 是质数,使得 p^2+3pq+q^2 等于某个整数的平方,求 p+q 的最大可能值 。

思路:由条件必存在自然数x,使得p^2+3pq+q^2=(p+q)^2+pq=(p+q+x)^2

=(p+q)^2+2x(p+q)+x^2,即pq=x(2p+2q+x)。

因p、q是质数,则x=1。否则将自相矛盾。故pq=2p+2q+1。

由对称性,不妨令p≥q,则pq=2p+2q+1≤4p+1,即p(q-4)≤1,亦即q≤4,或q=2、3。

将其代入pq=2p+2q+1中,只有当q=3时,解得p=7。故p+q=10。

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谢谢您给的讲解,学到了  发表于 2021-7-3 12:30
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发表于 2021-7-3 09:23 | 显示全部楼层
楼上 波斯猫猫 的解答很好!已收藏。
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