凸四边形 ABCD 的面积为 S ，求证：2S≤AB×CD+BC×AD

popo987654

想学习一下不同的证法.

kanyikan

由托勒密定理
AB×CD+BC×AD>=AC×BD   (当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立）
>=2S  (当且仅当对角线垂直时等号成立）

popo987654

请问能否用余弦定理来解？我现在沿这个方向去想...

Future_maths

luyuanhong

楼上 Future_maths 的解答很好！已收藏。

波斯猫猫

题：凸四边形 ABCD 的面积为 S ，求证：2S≤AB×CD+BC×AD。

思路：在面积为 S的凸四边形 ABCD（顺时针方向）中，设AB=a，BC=b，CD=c，DA=d。

连接BD，在△ABD中，把B和D两个顶点互换，使其成为面积不变的凸四边形ABCD（逆时针方向）。

在凸四边形ABCD（逆时针方向）中，连接AC，由三角形的两边及夹角的面积公式有：

2s=acsinB+bdsinD≤ac+bd=AB×CD+BC×AD，即2s≤AB×CD+BC×AD。

注：1，一般结论：凸四边形的面积不大于任意两边之积与其它两边之积的和的一半。

2，数学的魅力在于它有时能给人无尽的想象空间。条件和结论“联结”的清晰、简洁程度令人惊讶。