求 x＞0 使 x^x^x=(1／2)^√2

elim

题：求\(\,x>0\) 使\(\,x^{x^x}={(\frac{1}{2})}^{\sqrt{2}}\)  (网上看到的趣题)

luyuanhong

题  求 x＞0 使 x^x^x=(1/2)^√2 。

解  因为当 x＞0 时，f(x)=x^x^x 严格单调上升，而且 0^0^0 ＜(1/2)^√2＜1^1^1 ，

    所以，方程 x^x^x=(1/2)^√2 必定在 0＜x＜1 区间内有解，且仅有一个解。   

    当 x=1/4 时，有

    x^x^x=(1/4)^(1/4)^(1/4)=(1/4)^√√(1/4)=(1/2)^2^√(1/2)=(1/2)^√2 。

    可见，x=1/4 就是满足方程 x^x^x=(1/2)^√2 的解。

liangchuxu

陆教授解得妙！

elim

谢谢陆老师的解．下面的解也很妙：

liangchuxu

elim 发表于 2021-7-10 05:10
谢谢陆老师的解．下面的解也很妙：

你的解法也很妙，不过还需说明一下，其解是唯一的。