若实函数 f 对任意 a>0 有 lim f(na)=0,\(\lim_{x\to\infty}f(x)\) 是否存在?

elim

题：若\(f:[0,\infty)\to\mathbb{R}\) 满足\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(na)=0\,(\forall a>0)\)
\(\qquad\)问\(\,\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)\) 是否必存在?

elim

题：若\(f:[0,\infty)\to\mathbb{R}\) 满足\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(na)=0\,(\forall a>0)\)
\(\qquad\)问\(\,\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)\) 是否必存在?
解：\(\,h(x):=\large\frac{1}{1+|x|}\), 则 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}h(x)=0\implies h(na)\underset{a\ne 0}{\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}} 0\)
\(\qquad\)这样的函数可以随便举出很多. 但本题问的回答是否定的：
\(\qquad\)令\(\,f(x)=\begin{cases}\frac{(-1)^k}{m},& x=m\pi^k\;(m,k\in\mathbb{N}^+),\\ 0,& \text{其他}\,x\,\text{取值}.\end{cases}\)
设\(m_1\pi^{k_1}=m_2\pi^{k_2}\;(k_1,k_2,m_1,m_2\in\mathbb{N}^+),\)
令\(\,\alpha=|k_1-k_2|,\,\beta=\min(m_1,m_2),\,\gamma=\max(m_1,m_2)\),
则有 \(\beta\pi^{\alpha}-\gamma=0.\) 但\(\,\pi\) 是超越数, 故必有\(\,\alpha=0,\,m_1=m_2\)
所以\(\,f\,\)是被恰当定义的函数. 显然\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(na)=0\,(\forall a>0)\),
但\(\{f(\pi^n\}=\{(-1)^n\}\) 发散。故\(\,\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)\) 不存在.

luyuanhong

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