设 0＜θ＜φ ，θ+φ=45°，已知 cotθ，cotφ 都是正整数，求 cotθ+cotφ 的值

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luyuanhong

波斯猫猫

题：设 0＜θ＜φ ，θ+φ=45°，已知 cotθ，cotφ 都是正整数，求 cotθ+cotφ 的值 。

思路：令cotθ=m，cotφ=n（m、n∈Z+），由条件有，

1=cot45°=cot（θ+φ）=（mn-1）/（m+n），即mn-1=m+n （m＞n）。

令m=n+r（r∈Z+），则n（n+r）-1=n+r+n，即n＾2+（r-2）n-（r+1）=0。

所以2n=2-r±√[（r-2）＾2+4（r+1）]=2-r±√（r＾2+8）=1±3  （r=1）。

故n=2，m=n+r=2+1=3，即 cotθ+cotφ =m+n=3+2=5。