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设 D 是下表面为 z=x^2+y^2、上表面为 z=1 的区域,用球坐标三重积分表示 D 的体积

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发表于 2021-7-12 04:05 | 显示全部楼层 |阅读模式


上图是题干,下图是答案和侧视图。从测试图可以看出z=根号下x^2+y^2是直线,因此φ的积分限到π/4就可以了。

但如果将下表面的方程改为z= x^2+y^2,那么测试图将不再是直线,变成曲线了!!!因此φ的积分限也就不在到π/4就可以了吧,应该是0到π/4写个积分式,π/4到π/2写一个不同的积分式吧?这个积分式怎么写呢?主要是dρ的积分上限该怎么写呢?




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 楼主| 发表于 2021-7-12 17:02 | 显示全部楼层
刚看了一个视频,有点启发。自问自答一下。请各位老师看看对不对。思路是把该曲线从直角坐标系下转化到球坐标系下。
z=x^2+y^
z=r^2
ρ*cosφ=(ρ*sinφ)^2
ρ=cosφ/(sinφ)^2
这就是φ从π/4到π/2时 ρ的积分上限。不知道对不对?
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