求 G=P(x,y)i+Q(x,y)j，在 (a,b)≠(0,0)，与 x^2+y^2=a^2+b^2 相切，指向逆时针方向

wufaxian

题如上图。答案见下图。不明白红线部分为什么要求导数？是对y求导么？是把x看成y的函数么？我按照lu老师给出的方法计算出结果应该是-yi+xj。而这题的结果怎么是b和a的表达式？

luyuanhong

    对于一般的曲线来说，如果要求切向量，标准的做法是用求导的方法来求得。

但因为本题要求的是圆的切向量，属于特殊情况，所以其实不用求导也可以求得。

就像在另一个帖子中那样，我们只要先写出圆的法向量，再利用切向量与法向量

互相垂直的关系，不用求导，就可以得到切向量。

    在上面 1 楼给出的标准答案中，没有采用另一个帖子中那样的做法，而是用

求导的方法来求切向量，这是对一般曲线求切向量的标准做法，当然是没有错的。

    用求导的方法来求曲线的切向量，具体来说，又可以有多种不同的做法。

    例如，如果曲线方程是用显函数 y=f(x) 表示的，就可以直接对 f(x) 求导，

得到切线的斜率 dy/dx=f'(x) ，再进一步求出切向量。

    如果曲线方程是用隐函数 F(x,y)=0 表示的，可以把其中的 y 看作是 x 的

函数，利用复合函数求导公式，对 F(x,y)=0 两边同时求关于 x 的导数，得到

F'x(x,y)+F'y(x,y)dy/dx=0 ，dy/dx=-F'x(x.,y)/F'y(x,y) ，再求出切向量。

    上面 1 楼给出的标准答案中，就是这样做的。对 x^2+y^2=a^2-b^2 两边

同时求关于 x 的导数，得到 2x+2y dy/dx=0 ，由此求得切线斜率 dy/dx=-x/y 。

    再进一步根据“指向逆时针方向”和“向量大小为 √(a^2+b^2)”的条件，就

可以得到本题要求的切向量 G=-yi+xj 。