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对于一般的曲线来说,如果要求切向量,标准的做法是用求导的方法来求得。
但因为本题要求的是圆的切向量,属于特殊情况,所以其实不用求导也可以求得。
就像在另一个帖子中那样,我们只要先写出圆的法向量,再利用切向量与法向量
互相垂直的关系,不用求导,就可以得到切向量。
在上面 1 楼给出的标准答案中,没有采用另一个帖子中那样的做法,而是用
求导的方法来求切向量,这是对一般曲线求切向量的标准做法,当然是没有错的。
用求导的方法来求曲线的切向量,具体来说,又可以有多种不同的做法。
例如,如果曲线方程是用显函数 y=f(x) 表示的,就可以直接对 f(x) 求导,
得到切线的斜率 dy/dx=f'(x) ,再进一步求出切向量。
如果曲线方程是用隐函数 F(x,y)=0 表示的,可以把其中的 y 看作是 x 的
函数,利用复合函数求导公式,对 F(x,y)=0 两边同时求关于 x 的导数,得到
F'x(x,y)+F'y(x,y)dy/dx=0 ,dy/dx=-F'x(x.,y)/F'y(x,y) ,再求出切向量。
上面 1 楼给出的标准答案中,就是这样做的。对 x^2+y^2=a^2-b^2 两边
同时求关于 x 的导数,得到 2x+2y dy/dx=0 ,由此求得切线斜率 dy/dx=-x/y 。
再进一步根据“指向逆时针方向”和“向量大小为 √(a^2+b^2)”的条件,就
可以得到本题要求的切向量 G=-yi+xj 。
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