f(x)连续可导，∫(a,b)f(x)dx=0，证明：f '(ξ1)(ξ1-a)+f '(ξ2)(ξ2-b)+f(a)+f(b)=0

zxf107537631

求大佬看看这个题

cgl_74

有人会证明吗？看上去题目条件简单，我就是证明不出来。

cgl_74

有人尝试能够证明吗？有大侠试过没？一道题证明不出来，真是难受啊！特别是看上去没那么难的。

liangchuxu

抱歉，做错了，眼睛近视+老化打字常出错，犯些低级错误。也不作仔细检查。第一行分部积分漏了"x"。

luyuanhong

楼上 liangchuxu 的解答已收藏。

cgl_74

liangchuxu 发表于 2021-9-1 16:54
使用分部积分法与中值定理

感谢liang同学参与并分享自己的想法。
因为这题我也不会证，所以很想知道如何证明的。所以对于错误的证明我一定要指出来，吸引真正的答案。
liang同学的证明，在第一行就出错了。请检查。同时建议扩展思路。按常规思路估计早就被做出来了。

cgl_74

liangchuxu 发表于 2021-9-1 16:54
使用分部积分法与中值定理

如果你能用反证法，举出反例，也算证明了。我也不确定是否这个论题就是正确的。毕竟给出的条件，与要证明的结论，看上去联系没那么紧。

杨协成

举一个反例。

令 \(f(x)=x^{10}-1\) 和区间下限 \(a=0\) 和区间上 \(b=11^{1/10}\)。显然 \(f(x)\) 在区间上连续和可导，并且 \(\int_a^bf(x)dx=0\)。现在要寻找两个在区间上的不相等的实数 \(\xi_1,\xi_2\in(0,11^{1/10})\) 满足下式，
\[\begin{aligned}
&f'(\xi_1)(\xi_1-a)+f'(\xi_2)(\xi_2-b)+f(a)+f(b)=0 \\
\implies &
10\xi_1^{10}+10\xi_2^9(\xi_2-11^{1/10})+9=0
\end{aligned}\]
但注意到 \(10\xi_1^{10}\) 在区间上总为正数，\(10\xi_2^9(\xi_2-11^{1/10})+9\) 在区间上也总为正数。两个正数相加不可能为零。

Future_maths

杨协成 发表于 2021-9-3 21:58
举一个反例。

令 \(f(x)=x^{10}-1\) 和区间下限 \(a=0\) 和区间上 \(b=11^{1/10}\)。显然 \(f(x)\) 在区 ...

原来是个错题，难怪我证明不出来。

Future_maths

应该改成：f '(ξ1)(ξ1-a)+f '(ξ2)(ξ2-b)+f(ξ1)+f(ξ2)=0