试谈中学数学教材中存在的疑问

Z张喜安

四川省攀枝花市老年科技工作者协会   张喜安

摘要  本文首先指出的是，在中学数学的教材中，与实数点集合的概念相关的内容存在的疑问。例如，根据康托集合论的两个集合间一一对应的定义，即如果存在函数y=f(x)为A→B的双射函数，则A和B为一一对应的关系。根据上述定义，令[0,1]为x轴上的集合，[0,5]为y轴上的集合，由于存在函数y=5x为[0,1]→[0,5]的双射函数，所以[[0,1]和[0,5]为一一对应的关系，即[0,1]和[0,5]上的元素或者点的数目相等。但是又存在函数y=x不是[0,1]→[0,5]的双射函数，因此在y=x的条件下，[0,1]和[0,5]上面的点的数目就是不相等的。根据实数点的集合的概念，[0,1]和[0,5]上面的点的数目不可能即相等又不相等。这个现象表明实数系统存在矛盾或者悖论。当然疑问并不只是这一个，本文的目的是找出产生上述疑问的原因和解决上述疑问的方法。这里有一点需要预先指出，康托的两个集合间一一对应的定义使用实函数来判断两个实数点的集合是否一一对应，是建立在实函数并不影响实数点的集合的性质的基础之上的，但是事实正好相反，请注意。
关键词  中学数学教材  存在  疑问
1．实数点集合的概念存在的疑问
在摘要中已经指出，对于集合[0,1]和[0,5],由于存在函数y=5x为[0,1]→[0,5]的双射函数，[0,1]和[0,5]为一一对应关系，[0,1]和[0,5]上面的点的数目相等，但是由于存在函数y=x不是[0,1]→[0,5]的双射函数，于是，在y=x的条件下，[0,1]和[0,5]上面的点的数目不相等，于是出现了上述两个集合上面的点的数目即相等又不相等的矛盾。根据实数的概念，这是不可能的。下面我们再举一个比这个更不可思议的例子。
令[0,1]在x轴上则表示为〖[0,1]〗_x，而[0,1]在y上轴则表示为〖[0,1]〗_y，根据实数的概念〖[0,1]〗_x=〖[0,1]〗_y。由于存在函数y=x为〖[0,1]〗_x→〖[0,1]〗_y的双射函数，所以〖[0,1]〗_x和〖[0,1]〗_y上面的点的数目相等，但是又由于存在函数y=2x不是上面两个集合的双射函数，因此，在y=2x的条件下，上面两个集合上的点的数目就不相等。但是根据实数的概念，上面的两个集合是两个相等的集合，只是集合[0,1]在不同的坐标轴上罢了，如果说，上面两个集合不相等，那就等于说自己和自己不相等。实数概念出现这样的矛盾或者悖论表明实数概念存在严重的疑问，必须找出原因，进行改革，我们不能使用这种似是而非的理论来教育我们的青年了。为了解决上面提出的问题，必须引入超实数，请看下一节。
2.无限小数存在的证据与超实数的引入
康托的两个集合间一一对应的定义看起来很有道理，由于出现上一节存在的矛盾，这个定义不能成立，而康托集合论就是建立在这个定义之上的，因此，康托集合论也不能成立。但是我们还是要感谢康托，正是因为他的理论才使我们认识了实数存在的疑问，并且使我们找到无限小数存在的证据，进一步引入超实数，从而解决了上一节提出的问题。
根据康托的两个集合间一一对应的定义，由于存在函数y=5x为[0,1]→[0,5]的双射函数，因此[0,1]和[0,5]上面的点的数目相等，现在我们要问，这又如何解释上述两个集合所对应的线段的长度不相等的问题。我们知道，[0,1]和[0,5]相互对应的点的性质只有两种可能，即相同和不相同。如果[0,1]和[0,5]相互对应的点的性质相同，则根据集合论的外延公理，[0,1]=[0,5],因为这是和事实矛盾的，因此不可能。所以[0,1]和[0,5]相互对应的点的性质一定是不相同的。由于[0,1]和[0,5]对应的线段的长度不同，因此上述两个集合上的点的性质一定和长度相互联系，即上述两个集合上的点一定具有无限小的长度。令两个集合的点的数目为m，并且令[0,1]上的点的无限小长度为dx,[0,5]上面的点的无限小长度为dy.于是，mdy=5mdx,dy=5dx,即[0,5]上面的无限小长度是[0,1]上面的点的无限小长度的5倍。点具有的无限小长度是量，对应的数则是无限小数，以上就是无限小数存在的证据。对于无限小数，美国著名数学家鲁滨逊指出，在实数之后，引入无限小数仍是自然而然的事。[1]上述无限小数对应的点称之为超实数点 ，对应的量为超实变量，超实变量可以表示为X=x+dx,于是超实数可以定义如下：
定义  超实变量可以表示为X=x+dx,其对应的点为超实数点，其中x为实变量，它表示该点到原点的距离，dx则为该点的无限小长度，它的绝对值小于任何正实数而不等于0，该点对应的数为超实数，对应的函数为超实函数。
下面根据马克思主义的唯物辩证法对上面的定义做一个说明。根据质和量的辩证关系，质中有量，量中质，这就如阴中有阳，阳中有阴一样，是辩证法的规律所决定。因此超实变量X=x+dx应当被看作具有质的规定性的一个某物，因此它应当具有质和量的两方面的规定。于是根据超实变量X=x+dx的质和量的辩证关系，实数x表示超实变量X的质的规定性，当无限小量在一定的范围内变化时，x不发生变化，X也不发生变化。但是当无限小量dx的变化超出一定的范围，则x就发生了变化，变为另外的一个值，于是X也发生了变化，变为另外的一个值。由此可见，无限小量dx是超实变量变化的根据，量之所以具有可增可减的性质，就是因为无限小量的存在。
根据以上分析，超实变量才是客观实际存在的变量，而实数是不可能表示上述客观实际存在的变量的。黑格尔指出，数属于思想而不属于直观。[2]从以上的论述可以看出，数不仅仅属于思想，而且还包含着辩证法。反过来，实数才是仅仅属于直观。毛泽东主席指出，感觉只解决现象问题，理论才解决本质问题。[3]因此，实数是属于对于数的感性认识阶段，它没有达到对于数的本质的认识阶段。只有超实数才达到了对于数的本质的认识的阶段。实数是超实数X=x+dx丢掉无限小数dx而得到的数，从这一点来说，它就是不真实的数。以上所述就是实数理论存在矛盾或者悖论的根本原因。
如果存在实函数y=f(x),则存在超实函数Y=f(x+dx).由于X=x+dx,则有Y=y+dy,则dy=Y-y=f(x+dx)-f(x),即dy=f(x+dx)-f(x),请注意，这个公式很重要，以后经常用到。下一节，我们就来应用以上超实数的理论来解决实数理论存在的矛盾或者悖论的问题。
     3.根据超实数理论来认识实数理论存在的疑问
     首先根据超实数理论来认识为什么根据实数理论会出现[0,1]和[0,5]上面的点的数目即相等又不相等的矛盾。根据康托集合论的两个集合间一一对应定义，由于存在函数y=5x为[0,1]→[0,5]的双射函数，上述两个集合为一一对应的关系，于是，它们上面的点的数目相等。又因为存在函数y=x不是上述两个集合的的双射函数，因此，在y=x的条件下，上述两个集合上面的点的数目就不相等，于是出现了矛盾。但是根据超实函数的理论，在y=5x的条件下，dy=5dx,这时上述两个集合上的点已经具有了无限小的长度这样的性质，这两个集合已经不是实数点的集合，因此使用实数点的集合的概念就必然产生错误的判断。事实上，在y=5x的条件下，[0,1]和[0,5]确实是一一对应的，而[0,5]上面的点的无限小长度是[0,1]上面的点的无限小长度的5倍，从超实函数理论的角度看并不存在矛盾的问题。我们现在所要解决的问题是为什么根据实数理论就会产生矛盾或者悖论。
这里的根本原因在于人们对于实函数的本质没有了解，因此产生错误的判断。康托的两个集合间一一对应的定义就充分的反映了这一点。康托认为，使用实函数，就可以判断两个无穷集合是否一一对应，例如，由于存在函数y=5x为[0,1]→[0,5]的双射函数，就可以判断[0,1]和[0,5]为一一对应的关系，同时这两个集合上面的元素数目是相等的。还有，康托集合论的基本观点，是一个无穷集合可以和它的真子集一一对应，部分可以和全体相等。对应上面的例子，认为在y=5x 的条件下，根据实数理论，[0,1]仍然是[0,5]的真子集，于是，无穷集合[0,5]和它的真子集[0,1]在y=5x的条件下一一对应，这也就证明了康托集合论的基本观点，即一个无穷集合可以和它的真子一一对应，部分可以和全体相等的理论是正确的。但是根据超实数理论，在实函数y=5x的情况下，dy=5dx,具体的说，dy 表示y轴上的点的无限小长度，也是[0,5]上的点的无限小长度，同样的道理，dx为[0,1]上面的点的无限小长度，dy=5dx,是说[0,5]上的点的无限小长度是[0,1]上面的点的无限小长度的5倍。这说明，在y=5x的条件下，根据超实函数的理论，[0,1]已经不是[0,5]的真子集了，因此，康托的观点，即在y=5x的条件下，无穷集合[0,5]和它的真子集[0,1]一一对应的判断是错误的，因此康托集合论的理论也就是错误的理论。
产生上述错误的根本原因在于人们，特别是康托对实函数的认识是处于直觉的阶段，而没有认识到实函数的本质。那么，实函数的本质是什么呢？
根据超实函数的理论，前面已经指出，如果有实函数y=f(x)就存在超实函数Y=f(x+dx)。于是，实函数就是超实函数丢掉无限小数dx而得到的函数，实际上，超实函数才是客观实际存在的函数，由于实函数是超实函数丢掉无限小数dx而得到的函数，在这个意义是，实函数就是不真实的函数。人们，特别是康托，他们只看到实函数y=5x的存在，但是，却不知道与实函数y=5x同时存在的超实函数Y=5(x+dx),这时dy=5dx，这个式子表明，在实函数y=5x的条件下，[0,1]和[0,5]并不是两个实数点的集合，并且正是由于实函数y=5x的存在，才导致超实函数Y=5(x+dx)的存在，才有dy=5dx的关系的存在。所以，由于实函数y=5x 的存在，[0,1]和[0,5]才不是实数点的集合，而是两个超实数点的集合，也正是由于实函数y=5x的存在，[0,5]上面的点的无限小长度才是[0,1]上面的点的无限小长度的5倍。人们，特别是康托认为，实函数可以作为判断两个无穷集合是否一一对应的工具，但是事实上，这个工具却决定了对象的无限小长度，并且，在不同的实函数的情况下，对象的无限小长度是不同的。作为判断两个无穷集合是否一一对应的工具，它不能影响对象的性质，但是，正如前面指出的实函数不但影响了对象的性质，而且还决定了对象的无限小长度这样的性质。因此，人们，特别是康托把实函数作为判断两个无穷集合是否一一对应的工具的做法是错误的，也就是说，康托的两个集合间的一一对应的定义是错误，因此，康托的集合论也是错误的理论。上述对康托集合论的错误的分析，也是对出现[0,1]和[0,5]上面的点的数目即相等又不相等的矛盾的原因所作的更深入的分析。这里要指出的是，实数和实函数都是通过直觉直接得到的属于现象的东西。这种认识，只看到对象的现象而没有看到对象的本质。这种认识是片面的，从哲学上讲，仍是形而上学的认识方式。这种片面的形而上学的认识，必然导致对立和矛盾。我们要使用马克思主义的唯物辩证法的哲学认识对象的本质，才能得到对于数学理论的科学的认识。
对于在第一节根据实数理论出现的自己和自己不相等的矛盾的问题，也可以应用上述的方法加以解决，这里就省略了。
参考文献
1鲁滨逊，非标准分析，[M],1980年科学出版社，4页。
2黑格尔，小逻辑，[M]，商务印书馆1982年，北京，228页。
3毛泽东，毛泽东选集，[M]1967年，人民出版社，第一卷，263页
作者简介，张喜安，1942年生，男，汉族，辽宁辽阳人，高级工程师，代表作，康托集合论存在的矛盾。
住址，四川省攀枝花市东区大花地东路4号16栋3单元11 号，手机号18281205635.     文章完成于2021,7,28

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中学数学存在几百年重大错误！



用而不知的R外“更无理”标准实数推翻“R轴各点与各标准实数一一对应定理”；将无穷多各异假N(R轴)误为N(R轴)；“无穷旅馆”-深圳科普网  http://www.kepusz.com/knowledge-detail/i-19493.

波斯猫猫

[0,1]和[0,5]上面的点的数目不可能即相等又不相等。这句话有问题，信不信看自己？
事实上，[0,1]和[0,5]都是用区间表示的两个无限集。