已知 ΔABC 中 AB=20 ，BC=21 ，CA=29 ，求能完全覆盖 ΔABC 的正方形的最小边长

popo987654

请教一道几何题

lihp2020

1  20 21 29  刚好是个勾股数   说明它是直角三角形
题 可以解释   找一个正方形 里面刚好能放下一个那种直角三角形

如图  只能这样 最小的顶点 在一个正方形顶点上 另外两个点 在边上 组成这样的图形
为啥这样 这样只能说经验之谈 这种情况 所有三角形的点 都靠边边了 小一分 就放不下了 大一分 这个三角形 就能抖动 说明还能更小

记 正方形边长是a  如图 AB=a 勾股定理 可以得到BC  CD =a-BC  在来勾股定理可以得到DE
由于∠ACE是直角  三角形abc与 三角形cde 相似 AB：BC=CD：DE

可以建立 只有关于a的方程 求解 就可以了  
如何求解 就不解释的 不得行 就靠计算机 求解

lihp2020

手动计算 最后结果好像是 441/sqrt(442)  算了半天 还怕算错了   最后 就只有祈祷 大佬分析计算过程了

王守恩

lihp2020 发表于 2021-7-30 17:07
手动计算 最后结果好像是 441/sqrt(442)  算了半天 还怕算错了   最后 就只有祈祷 大佬分析计算过程了

\(答案是\frac{441}{\sqrt{442}},手工能解吗？！\)
1,\(\frac{a}{\sqrt{21^2-a^2}}=\frac{\sqrt{20^2-\big(a-\sqrt{29^2-a^2}\big)^2}}{a-\sqrt{29^2-a^2}}\)
2,\(\frac{a}{\sqrt{21^2-a^2}}=\frac{a-\sqrt{21^2-a^2}}{\sqrt{20^2-\big(a-\sqrt{21^2-a^2}\big)^2}}\)
3,\(a=\sqrt{21^2-a^2}+\sqrt{20^2-\big(a-\sqrt{29^2-a^2}\ \big)^2}\)
4,\(a=\sqrt{29^2-a^2}+\sqrt{20^2-\big(a-\sqrt{21^2-a^2}\ \big)^2}\)

popo987654

谢谢两位老师给的思路和方向

luyuanhong

lihp2020

如果 ∠ACE 不是直角，还可以有解么？  
1 是有解 的  但是 因为 用不到相似三角形  就更复杂

不用相似  ∠ ACE  是定值    那个它旁边两个角  和就是定值  定值 就有sin  和cos的关系
相似关系的方程 换成 sin  和cos 方程    理论上  是可以求解的
直角三角形特殊点 sin ∠ ACB=cos∠  DCE  就简单
【看了陆老师的方法  应该 任意三角形 都可以  三个参数 3个勾股定理  
应该 还是能算出来  】
2  当是钝角 要分析 最长边 如果是正方形的对角线 的合理性
这个情况 一般 就是 上面的那个方程   都不存在合理的解   比如 随便怎么算 一个边长 必须是负数的情况

当然 这个理论求解 只是说存在性 具体值  反正 很难算