平面图的对偶图，自对偶图与互对偶图

雷明85639720

平面图的对偶图，自对偶图与互对偶图
雷  明
（二○二一年八月七日）

什么是平面图的对偶图？即把原平面图的面作为新的顶点，把原平面图中有边相邻的两个面所对应的新顶点用边连接起来所得到的新图，就是原平面图的对偶图。平面图的对偶图仍是平面图。我们在给地图（无割边的连通的3—正则平面图）着色时，就是把地图中各区域中的中心城市作为新的顶点，把两个相邻的区域的中心城市再用边连接起来得到的新的极大平面图，然后再给地图的这个对偶图的顶点着色。
1、平凡图，也是顶点数是1的完全图K1，也是0度正则图。其几何意义是“点”。该图的对偶图仍是一个“点”，是自对偶图，即其对偶图就是它自身（如图1）。


2、顶点数是n的道路，当n是2时，就是完全图K2，也是1度正则图。该类图的几何意义是直线。该类图的对偶图是一个相互嵌套并相切的n－1的多重环，只有一个顶点，是因为道路中只有一个面。其对偶图与其自身是互为对偶的（如图2）。
顶点数是n的星形图，当n 是1时，也是完全图K2，也是1 度正则图。该 类图的对偶图是不互相嵌套的并且在一个顶点上的n—多重环（如图2—2），也是互为对偶的图。

3、顶点数是n的圈，当n是3时，就是完全图K3，也是2度正则图。该类图的几何意义是多边形。该类图的对偶图是一个n条的多重平行边，只有两个顶点，是因为圈只有两个面。其对偶图与其自身也是互为对偶的（如图3）。

4、顶点数是4的完全图K4，也是3度正则的图。该图的几何意义是四面体。该图的对偶图仍是它自身，是一个K4图，仍是4个顶点，因为K4图中只有4个面。这也一个是自对偶图（如图4）。

5、轮沿顶点数是n的轮，当n是3时，也是完全图K4,也是3度正则的图。该类图的几何意义也是棱锥体。该类图的对偶图仍是一个n—轮。也是一个自对偶图（如图5）。

6、“腰围”是n的菱形体（即对底双锥体），当n是4时，就是八面体。该类图的对偶图是一个“同腰围”的棱柱体。八面体的对偶图是一个四棱柱，也就是六面体，所以八面体与六面体是互为对偶的两个图（如图6）。当n是3时，是六面体，其对偶图是一个3—棱柱。

7、5—正则的二十面体的对偶图是3—正则的十二面体（如图7），也是一对互为对偶的图。

8、地图是一个无割边的连通的3—正则平面图，根据以上各互为对偶的图的情况看，地图的对偶图应是极大的平面图。地图中的各顶点都是3度顶点，其对偶图——极大平面图中的各面都是3条边，都是三角形面；相应的，极大平面图的对偶图也是一个3—正则的平面图，其中各顶点也都是3度顶点。

雷  明
二○二一年八月七日于长安

雷明85639720

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