级数概念问题

elim

级数不能解读为无穷次相加，因为无穷操作没有意义。它是一个映射
\(\{a_n\}\mapsto s.\) 对于非负项级数，当\(\{a_n\}\)的部分和序列 \(\{s_n\}\)有界时
易见无穷项和\(\,\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sup\{s_n\}=\lim_{n\to\infty} s_n\). 于是对一般的级数,
\(\,\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to\infty} s_n\) 就是合理的推广. 只要\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n\)存在.
所以收敛的\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 不是序列而是一个定数。
由级数和的这个现行数学定义立即得到 \(0.\dot{3}=3\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\small\frac{1}{10^n}=\frac{1}{3}.}\)

通俗地说，一堆物体的总重量无从算起时可以通过对其上秤来解决．一堆
正数的和是一个正数，它不小于且只是不小于这堆数的每个有限和．不难
从这个朴素的思想得出正项级数和的定义：
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sup\{s_n\mid n\in\mathbb{N}\}\).  由单调有界定理此即\(\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n\).
一般项级数的定义是正项级数和定义的代数延拓，

elim

主贴说明 jzkyllcjl 的所有对数学的篡改一无是处。

jzkyllcjl

elim网友： 对睡啦A(n)=1/10^n, 可以得到lim n→∞A(n)=0，但A(n)永远不等于0.

elim

这很好吆．没有人希望数列达到其极限．

elim

jzkyllcjl 坚持错误的级数概念。难怪永远计算不了绝大多数函数值。其实他连一般函数的严格定义都建立不了。

elim

级数和等于其部分和的极限。所以马克思的  1/3 = 0.3+0.03+...  是正确的。

elim

级数不能解读为无穷次相加，因为无穷操作没有意义。它是一个映射
\(\{a_n\}\mapsto s.\) 对于非负项级数，当\(\{a_n\}\)的部分和序列 \(\{s_n\}\)有界时
易见无穷项和\(\,\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sup\{s_n\}=\lim_{n\to\infty} s_n\). 于是对一般的级数,
\(\,\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to\infty} s_n\) 就是合理的推广. 只要\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n\)存在.
所以收敛的\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 不是序列而是一个定数。
由级数和的这个现行数学定义立即得到 \(0.\dot{3}=3\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\small\frac{1}{10^n}=\frac{1}{3}.}\)

通俗地说，一堆物体的总重量无从算起时可以通过对其上秤来解决．一堆
正数的和是一个正数，它不小于且只是不小于这堆数的每个有限和．不难
从这个朴素的思想得出正项级数和的定义：
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sup\{s_n\mid n\in\mathbb{N}\}\).  由单调有界定理此即\(\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n\).
一般项级数的定义是正项级数和定义的代数延拓，

jzkyllcjl

春风晚霞：第一，我尊重恩格斯“数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了” 的说法是正确的、有用的，至于恩格斯关于无穷级数的论述“数学。把某个确定的数，例如把一个二项式，化为无穷级数，即化为某种不确定的东西”也需要联系事实 使用“无穷级数和是其前n项和的趋向性极限的事实去说明”。
第二，我的【定义3（理想实数的非形式化定义）： 现实数量的大小（包括现实线段长度）具有可变性、测不准性；但在相对性与暂时性的意义下，可以认为：每一个现实数量都有确定的大小。因此，可以提出：现实数量大小（例如线段长度、角度大小）的没有误差的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数（例如：π与 根号2）. 是在实数二字之前，加上“理想”二字的定义，因此就可以使用理想与现实、精确与近似对立统一法则阐述实数理论。于是就有了“无尽小数是实数康托尔基本数列的简写，它们都是变数，而不是定数，它们的极限才是实数”的反映事实的实数理论。就有了3.1415926…是算不到底的康托尔的基本数列的简写，它不是定数，它无限接近于圆周率但不等于圆周率的事实。
第三，有了第二中的事实，就可以知道：“完成了的整体的实无穷观点”对无尽小数不成立，Brouwer三分律反例(中三个命题：①这个无尽不循环小数展开式中没有百零排（ 百零排指100个连续的0）；②这个无尽不循环小数展开式中有偶数个百零排；③这个无尽不循环小数展开式中有奇数个百零排。 都是不可判断的命题，不能使用两次排中律，得到rouwer数Q>0;Q=0；Q<0 这三种情况有且只有一种情况成立的证明。这样就解决了徐利治在这篇论文的最后部分指出“看来，这还是一个不易解决的难题”。
第四，我说了“实数的康托尔基本数列都是算不到的无穷数列”，arcsin 3/4 与arccos7/8 都是如此。都需要近似计算。
第五，在,张锦文的《 集合论与连续统假设浅说》一书中，虽然没有说  “连续统假设大难题”是因为等式圆周率=3.1715926…造成的 话，但他证明了{0，1}不可数定理，这个定理的区间内有3.1415926……-3=0.1415926……的实数，这个实数与圆周率有关，由于这个无尽小数具有算不到底的事实，这个 定理证明中的涉及排中律的反证法 不成立，这样就消除了这个许多教科书介绍的这个“不可数定理”。这样就消除了这个大难题。这就是对立统一法则的唯物辩证法在数学理论中的重大贡献。

elim

jzkyllcjl 需要戒吃狗屎，才能端正级数概念：

级数不能解读为无穷次相加，因为无穷操作没有意义。它是一个映射
\(\{a_n\}\mapsto s.\) 对于非负项级数，当\(\{a_n\}\)的部分和序列 \(\{s_n\}\)有界时
易见无穷项和\(\,\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sup\{s_n\}=\lim_{n\to\infty} s_n\). 于是对一般的级数,
\(\,\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to\infty} s_n\) 就是合理的推广. 只要\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n\)存在.
所以收敛的\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 不是序列而是一个定数。
由级数和的这个现行数学定义立即得到 \(0.\dot{3}=3\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\small\frac{1}{10^n}=\frac{1}{3}.}\)

通俗地说，一堆物体的总重量无从算起时可以通过对其上秤来解决．一堆
正数的和是一个正数，它不小于且只是不小于这堆数的每个有限和．不难
从这个朴素的思想得出正项级数和的定义：
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sup\{s_n\mid n\in\mathbb{N}\}\).  由单调有界定理此即\(\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n\).
一般项级数的定义是正项级数和定义的代数延拓，

jzkyllcjl

恩格斯的“数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了” 的说法确实是正确的、有用的，至于恩格斯关于无穷级数的论述“数学。把某个确定的数，例如把一个二项式，化为无穷级数，即化为某种不确定的东西”也需要联系事实 使用“无穷级数和是其前n项和的趋向性极限的事实去说明”所以第一，应当提出全能近似等式：1/3~0.333……；π~3.1415926……；√2~1.4142……。，第二，应当使用，趋向性极限方法证明 柯西收敛定理；区间套定理；却界定里，详细论述请参看笔者的专著《全能近似分析数学理论基础及其应用》。