在 ΔABC 中，D,E,F 是 BC,CA,AB 中点，已知中线 AD=a，BE=b，CF=c，求 ΔABC 的面积

中国上海市

已知三角形的三条中线分别为a,b,c求面积

Nicolas2050

Stewart定理：
在△ABC中，D为BC边上任意一点，则有关系式
BD*AC^2+CD*AB^2=BC*AD^2+BD*CD*BC
若D为BC中点，则可得到AD^2=AB^2/2+AC^2/2-BC^2/4

设三边长为A、B、C，其三边上的中线长分别为a、b、c。
则2a^2=B^2+C^2-A^2/2
2b^2=A^2+C^2-B^2/2
2c^2=B^2+A^2-C^2/2
所以
3(A^2+B^2+C^2)/2=2(a^2+b^2+c^2)
所以4(a^2+b^2+c^2)/3=A^2+B^2+C^2
用这个式子分别减上面三个，再化简，得：
A=√(8b^2/9+8c^2/9-4a^2/9)
B=√(8a^2/9+8c^2/9-4b^2/9)
C=√(8b^2/9+8a^2/9-4c^2/9)
再利用海伦公式
已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝ √[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）

即可求出

Nicolas2050

斯特瓦尔特(Stewart)定理在初高中数学竞赛中十分常见。

kanyikan

永远

已知任意三角形的三条中线长,则可知三角形的三条边的长度
求法如下：三角形三点为A,B,C,D,E,F为A,B,C对边的中点,
CF^=AC^+AF^-2COSA*AC*AF,AD^=AC^+CD^-2COSC*AC*CD,
CF^=CB^+BF^-2COSB*BC*BF,AD^=BD^+AB^-2COSB*BD*AB
BE^=CE^+BC^-2COSC*CE*CB,BE^=AE^+AB^-2COSA*AE*AB
AF=AB/2,CD=CB/2,BF=AB/2

永远

https://m.wenda.so.com/q/1483851886727509?src=140

luyuanhong

楼上 kanyikan 的解法很好！下面是根据这一解法思路的详细解答过程：