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四川省攀枝花市老年科技工作者协会 张喜安
摘要 莱布尼茨是微积分理论的创始人之一，它的理论是实无穷的微积分理论，在莱布尼茨的微积分及其应用不断取得辉煌成果的同时，反对的声音出现了，而且越来越强烈，之后由于贝克来悖论的问题而被否定，之后以潜无穷理论为基础的柯西的微积分取代了莱布尼茨的实无穷的微积分理论。现在的经典微积分理论，就是所谓柯西的以极限理论为基础的潜无穷的微积分理论的完善。潜无穷的观点在历史上先于柯西就已经出现了，德国哲学家黑格尔评判了所谓潜无穷的错误观点，给出了实无穷小，或者称之为无限小的定义。之后恩格斯也给出了无限小的定义，我们根据黑格尔和恩格斯的无限小的定义建立了实无穷的微积分理论。在本文中，我们将以上述理论来证明莱布尼茨的实无穷的微积分理论是正确的，而柯西的潜无穷的微积分理论是错误的。当然，说莱布尼茨的实无穷的微积分理论是正确的，并不等于说，莱布尼茨的微积分理论没有一点问题，。我们在本文将指出莱布尼茨微积分存在的一些缺点，但是，由于受历史条件的限制，莱布尼茨微积分存在的一些缺点是可以理解的。我们说要给莱布尼茨微积分平反，就要有理由，而黑格尔和恩格斯的实无穷理论就是给莱布尼茨微积分平反的充分理由。
关键词 为 莱布尼茨微积分 平反
黑格尔与恩格斯的实无穷理论
我们在黑格尔和恩格斯的无限小定义的基础之上建立了实无穷的理论。为了
建立实无穷的理论，我们首先给出了无限小量存在的证据，并且进一步引入了超实变量、超实数、超实数点和超实函数的概念。在作了这些工作的基础之上，我们再介绍了黑格尔和恩格斯的无限小定义。并且称在上述理论基础之上建立的微积分为超实微积分。为了论述的方便，我们根据超实函数的理论给出了函数的导数的概念。以上这些工作就是为了证明实无穷的理论是正确的，莱布尼茨的实无穷的微积分理论基本上是正确的，而柯西的潜无穷的微积分理论是错误的。对于上面的内容分别叙述如下。
无限小量存在的证据与超实数的引入
首先，现在的数学界是以实数、实数点、实数点的集合、实变量和实函作为数学的基础性概念，那么，为什么还要引入超实数呢？那就是因为实数存在缺陷的原因。现在我们就来研究这个问题，而要研究这个问题，则首先要从康托的一一对应的方法说起。康托集合论现在已经得到数学界的普遍承认，它的理论的建立主要就是依靠所谓的一一对应的方法。数学家兼物理学家的兰佐斯对康托的一一对应的方法有一个很好的说明，兰佐斯在他的“无穷无尽的数”[1]一书中指出，现在我们再一次回到数数的问题上来。我们前面已经看到，数数基本上就是做标记，如果我们要数一群羊，我们可以让羊群在我们的面前走过，每走过一头羊，就在身边放一块石头。然后我们可以数出放在身边的石头有多少块。在这种过程中最关键的步骤是我们把两组物体，羊和石头联系起来了。有一头羊就有一块石头，也可以说有一块石头就有一头羊。用数学的术语来表达，这种配对的方法就叫做“一一对应关系”。康托用于探讨无穷集合的魔杖恰恰就是这种一一对应的关系。我们完全可以说，如果我们能够在两个无穷集合的元素之间建立这种一一对应的关系，那么我们完全有理由说，这两个无穷集合的元素数目相等，或者用数学的术语来说，它们的势是相等的。于是康托就给出了两个集合间一一对应的定义：即如果存在函数y=f(x)为两个无穷集合A→B的双射函数，则A和B为一一对应关系。从以上数学家兰佐斯的介绍可以看出，康托的一一对应的方法真的是很有道理，很多人因此对康托的理论深信不疑。大家以为是真的，就一定是真的吗？不会是所谓真，实际上只是一种假象，而实际上是假的吗？在历史上反对康托集合论的声音也很多，有一些是世界上著名的数学家，例如，柯西就认为，康托的一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，部分可以和全体相等是自相矛盾。德国的数学家克隆内克把康托看成科学的骗子和叛徒。庞加莱却认为，康托的集合论是数学发展史上的一场疾病。但是，现在看来，反对康托集合论的人确实是少数派。但是；毛泽东主席说道，真理往往掌握在少数人手里。胡适也说道，做学问要在无疑处有疑。因此，我们完全有理由怀疑康托的两个集合间一一对应的定义的正确性。下面我们还是让事实说话吧。
我们令[0,1]为x轴上的集合，[0,2]为y轴上的集合，由于存在函数y=2x为[0,1]→[0,2]的双射函数，根据康托两个集合间一一对应的定义，[0,1]和[0,2]为一一对应的关系，这就是说，[0,1]和[0,2]上面的点的数目相等。但是因为存在函数y=x不是[0,1]→[0,2]的双射函数，所以在y=x的条件下，[0,1]和[0,2]就不是一一对应的关系，因此[0,1]和[0,2]上面的点的数目不相等。根据实数点的集合的概念，两个实数点的集合，它上面的点的数目不可能即相等又不相等。这表明，康托集合论和实数都存在矛盾或者悖论，这也说明，康托集合论是错误的，而实数则存在缺陷。因此必须引入超实数，而引入超实数，必须首先证明无限小量的存在。
虽然康托集合论是错误的，我们还是要感谢他，因为正是他的错误使我们找到了无限小量存在的证据。由前所述，由于存在函数y=2x为[0,1]→[0,2]的双射函数，所以在y=2x的条件下，[0,1]和[0,2]为一一对应的关系，于是它们上面的点的数目相等。这时我们要问，上面两个集合上的点的数目相等，但是它们对应的线段的长度却不相等，这又如何解释。我们知道，[0,1]和[0,2]互相对应的点的性质只有相同和不相同两种可能，如果上述两个集合对应的元素的性质相同，根据集合论的外延公理，上述两个集合就是相等的两个集合，这是和客观事实矛盾的，因此是不可能的，因此，上述两个集合相互对应的元素的性质一定是不同的。由于[0,1]和[0,2]对应的线段的长度不同，因此上述两个集合相互对应的点的性质一定和长度相关，即上述两个集合上的点一定具有无限小的长度。令两个集合上的点的数目为m，[0,1]上的点的无限小长度为dx，[0,2]上的点的无限小长度为dy。于是，mdy=2mdx,dy=2dx，即[0,2]上的点的无限小长度是[0,1]上的点的无限小长度的两倍，这也就是为什么[0,2]对应的线段的长度是[0,1]对应的线段的长度的两倍的原因。这就是无限小量存在的证据，同时也就是无限小数存在的证据。于是可以给出无限小量的定义如下：
无限小量定义 令X=x+dx,,其中X称之为超实变量，实变量x表示超实变量X对应的点到原点的距离，dx表示该点具有的无限小长度，dx小于任意正实数而不等于0。与超实变量对应的点为超实数点，对应的数为超实数，对应的函数为超实函数。
显然，如果存在实函数y=f(x),则存在超实函数Y=f(x+dx),因为有X=x+dx,因此有Y=y+dy,于是dy=Y-y=f(x+dx)-f(x),也可以直接写作dy=f(x+dx)-f(x),请注意这个公式很重要，，公式中的dx表示x轴上的点具有的无限小长度，dy表示y轴上的点所具有的无限小长度。
黑格尔的无限小定义
德国古典哲学家黑格尔的无限小定义：量的质的量的规定性。[2]
上文中的量的质的含义是，根据质和量的辩证关系，质中有量，量中有质，这和阳中有阴，阴中有阳一样，是辩证法的规律所决定。因此客观实际存在的变量，即超实变量的任意值都应该被看作具有质的规定性的一个某物，这个某物也有质和量两个方面的规定性。前面已经给出的超实变量的表达式，X=x+dx,式中的超实变量X的任意值在这里就是具有质和量两方面的规定性的一个某物，实变量x表示其对应的点到原点的距离，同时也就是超实变量X的任意值的质的规定性，而无限小量dx就是超实变量X的量的规定性，根据质和量的辩证法，当无限小量dx在一定范内变化时，x不发生变化，当无限小量dx的变化范围超出了一定的范围，x就发生了变化。当x发生了变化，X也就变为另外一个值了。根据恩格斯的无限小定义，无限小量dx是量变化的根据
恩格斯的无限小定义
恩格斯的无限小定义：无限小就是同一与差别的辩证法。[3]
如何来理解恩格斯的上述定义呢？
如果水的温度在0°到100°之间变化，则水的性质不发生变化，这表明水的同一性方面。但是在水的温度在0°—100°之间变化的时候，水本身也是有所不同的，例如36°的水和80°的水是有明显的差别的，这就是任意一个某物自身都存在差别的方面，把这两方面都考虑起来就是恩格斯所说的同一与差别的辩证法。具体的说到超实变量X=x+dx时，当无限小量在一定的范围内变化时，x不发生变化，这表示X同一方面，但是在无限小量dx在一定的范围内取不同的值时 ，X本身也是有所不同的，这表示了超实变量X的差别方面。例如，在X取某个值时，无限小量在一定的范围内取不同的值dx_1时，对应的超实变量则为X_1，无限小量取dx_2时，超实变量则为X_2。这时无限小量取不同的值，虽然x没有变化，但在x对应的点的超实变量X_1和X_2也是有所不同的。我们把超实变量的任意值看作是具有质的规定性的一个某物，则它自身即存在同一的方面，表示为特定质规定性，即实变量x保持不变，而它自身存在的差别可以表示为X_2-X_1=x+dx_2-x-dx_1=dx_2-dx_1,=dx_3，而dx_3是两个不同的无限小量的差，也是一个无限小量。这表明，对于超实变量的任意一个值X，在其质的规定性不变的情况下，它自身存在的差别仍然是一个无限小量。这样对于超实变量的表达式X=x+dx，当我们使用黑格尔和恩格斯的两个无限小定义对超实变量的表达式给以解释后，使得超实变量的表达式的含义更加全面和深刻表示了超是变量的性质。使超实变量的内容和形式高度融合，如黑格尔所说，内容就是形式，形式也就是内容。通过黑格尔和恩格斯的无限小定义，超实变量的表达式X=x+dx把三个量，即超实变量X、实变量x和无限小量dx三者之间的相互依存的关系和各自的含义表达的非常清楚和明确。当然质和量的辩证关系以及某物的同一和差别的辩证关系的哲学思想的使用也起到重要的作用。黑格尔指出，数不属于直观而属于思想，在超实变量、超实数点、超实数和超实函数的概念就充分体现了，数不仅仅属于思想，而且包含着辩证法。超实变量X=x+dx才是客观实际存在的变量，因为客观实际存在的变量的任意值都具有质和量两个方面的规定性，与超实变量对应的点到原点的距离，即实变量x只是超实变量的任意一个值的质的规定性，而无限小量dx 则是其量的规定性。而实变量x是超实变量X=x+dx丢掉无限小量dx而得到的变量，从这一点看，它就是不真。超实变量对应的数为超实数X=x+dx，才是客观实际存在的数，而实数x是超实数X=x+dx丢掉无限小数dx而得到的数，从这一点看，它就是不真。毛泽东主席指出，感觉只解决现象问题，理论才解决本质问题。实数只是直觉的产物，反映的只是数的现象方面，而没有反映数的本质，由于实数的这种片面性，必然产生对立和矛盾，这就是前面已经指出的，康托集合论和实数点的集合存在矛盾或者悖论的根本原因。我们根据上面的实无穷的理论建立的微积分理论称之为超实微积分。下面我们根据超实数和超实函数的理论给出函数的导数的概念。
从数学的角度，导数就是曲线y=f(x)上任意点的切线的斜率，这个任意点可以表示为(x,y).如果有实函数y=f(x),就存在超实函数Y=f(x+dx),于是dy=f(x+dx)-f(x)，其中，dy表示点(x,y)在y轴上的无限小长度，dx则为该点在x轴上的无限小长度，因此曲线y=f(x)上任意点(x,y)的切线的斜率就是dy/dx.它也就是函数的导数。如果函数是路程对时间的函数，则导数就是物体运动的速度。例如，有函数y=x^2,则dy=〖(x+dx)〗^2-x^2=2x+d^2x，于是dy/dx=(2xdx-dx^2)/dx=2x+dx.上面的结果是超实函数Y=〖(x+dx)〗^2的导数，即2x+dx，它是一个超实数，而函数y=x^2的导数则为2x.从以上函数的导数的概念或者定义可以看出，导数一方面，只根据函数本身就可以直接计算，另一方面，导数的本质就是两个无限小量的比。超实微积分的导数概念和计算如此的简明扼要，是由于超实微积分的超实变量、超实数点、超实数和 超实函数的概念的客观真实性。我的论文“超实函数理论与微积分新理论的创新”[4]给出了超实微积分的基本内容，有兴趣的同志可以查阅。有了以上实无穷的理论，我们就可以为莱布尼茨微积分平反了。
二．为莱布尼茨微积分平反
莱布尼茨的实无穷微积分产生后，首先在科学的应用方面不断的取得辉煌的成果，再有，我们要问，如果没有莱布尼茨的实无穷微积分，能有黑格尔和恩格斯的无限小定义吗？能有现在的超实微积分吗？而且莱布尼茨的实无穷小的理论基本上是正确的（这一点，我们将在后文中给以指出），根据黑格尔和恩格斯的无限小定义建立起来的实无穷理论的正确性是毫无疑问的，因此柯西的潜无穷理论就是错误的理论，因此从大的方面看，对莱布尼茨微积分的否定是片面的，因为是片面的，因此就是不真。下面给出具体的分析。
1莱布尼茨实无穷小的概念
在一片反对的声音中，莱布尼茨对自己的无穷小给出解释：他说，当然一个绝对相等的东西总有一个绝对是无的差别。[5]这个观点是莱布尼茨立论的基础。比如水，就是一个绝对相等的东西，它是否有一个绝对是无的差别呢？在水的温度在0°—100°之间变化时，水的基本性质没有变化，但是在不同的温度下，水也是不同的，例如39°的水和80°的水显然是不相同的，使用辩证法的语言，这就是同一与差别的辩证法，而莱布尼茨则说，一个绝对相等的东西总有一个是无的差别。对于客观实际存在的变量，即超实变量X=x+dx,，对于X这样具有同一和差别的辩证关系的东西，对于不同的无限小量dx的值dx_1和dx_2，则有X_1=x+dx_1,X_2=x+dx_2，X_1-X_2=dx_1-dx_2=dx_3,使用辩证法的语言，无限小就是同一与差别的辩证法，超实变量的任意值自身在对应不同的无限小量的时候存在一个无限小量的差别。而莱布尼茨则说，对于一个变量的任意一个值，存在一个绝对是无的差别。以上的分析表明，莱布尼茨实无穷小的基本观点是正确的，只是由于历史局限性的限制，对于无穷小是0还是不是0，观点模糊。这是莱布尼茨实无穷小理论的缺陷。而根据黑格尔和恩格斯无限小定义，无限小量的每一个值都小于任意正实数而不等于0 。根据以上分析，莱布尼茨的无穷小的概念基本上是正确的，他的实无穷小的理论也是基本上是正确的。莱布尼茨还进一步指出，然而一个过度的状态或者一个消失的状态是可以设想的，其中仍然没有出现完全的相等或者静止------，而是进入这样一种状态，即差小于任何指定的量，在这种状态中还剩余一些差，一些速度，一些角度，但是它们每一个都是无穷小------[6]在这里，莱布尼茨的无限小概念只是由于受历史局限性的限制而没有能指出无限小是否是0.莱布尼茨接着说，是否这样一个从不等到相等的瞬时过度能够保持在严密的或者形而上学的意义中呢？这些是否是合法的考虑，在目前还是未解决的问题。[7]这是实话，但是在现在的黑格尔和恩格斯的实无穷理论中已经解决了。总之莱布尼茨的实无穷小的理论基本上是正确 。历史上对他的否定是片面的，而不是辩证的看莱布尼茨的实无限小观点。下面我们就根据黑格尔和恩格斯的实无穷小的理论了看一看，柯西的潜无穷的微积分理论存在的问题。
2,柯西微积分存在的问题
[1]为什么柯西的潜无穷是错误的
总之，在第一节已经充分证明了实无限小量的存在，当然潜无穷的观点就是错误的。但是为什么会产生潜无穷的错误观点呢？人们对无穷的思考总是一种直观思考，无穷大，就是向大的方向不断地延伸 ，无穷小，就是不断地向小的方向延伸，但是这种延伸的每一次都是仍然停留在有限之中。那么真正的无穷或者无限是什么呢？这是一个哲学的问题，一般说来，绝对的东西存在于相对的东西之中，无限存在于有限之中。我们现在就来考察为什么无限的东西存在于有限之中，有限的东西又如何变为无限的东西。首先客观实际存在的变量的任意的一个值，就是一个有限的值，看它是如何否定自身而变为无限的。前面我们已经指出，客观实际存在的变量就是超实变量X=x+dx,在第一节我们已经证明了无限小量的存在。这里要首先指出，实变量x是超实变量X=x+dx丢掉无限小量dx而得到的量，因此，它和客观实际存在的变量，即超实变量X=x+dx比较就是失真，因此它不能表示客观实际存在的变量，但是柯西认为实变量x就是客观实际存在的变量，这就是柯西产生错误的根本原因。超实变量X的任意一个值就是一个有限的值，现在我们就看一下，它如何否定自身而变为无限的。当无限小了dx在一定的范围内变化时，x保持不变，但是当无限小量的变化超出了一定的范围，实变量x就发生了变化，因此超实变量X也就发生了变化，变为另外的一个值，这就是有限如何否定自身变为无限的过程，而无限小量是变量变化的根据，这就是真正的无限。
[2]柯西微积分的导数概念存在的问题
柯西的导数是借助于极限的概念来定义的。在黑格尔看来，简单、极限和限制等等都是都是片面的观点，不足以表达真理。黑格尔指出，旧形而上学的重要兴趣，即在于研究刚才所提到的那些谓词是否应用来加给它们的对象。但是这些谓词都是有限制的知性概念只能表示一种限制，而不能表达真理。尤须特别注意：这种方法仍在于把谓词加给对象，但是，这只是对于对象的外在的思考，反之，要想得到一个对象的真知，必须由对象自己去规定自己，不可以从外面采取一些谓词来加给它。[8]现在我们来考察一下柯西的导数定义，它显然不是由函数自己来规定自己的导数，而是使用从外面采取来的一个谓词“极限”加给对象，以为这样就得到了关于函数的导数的真理。而超实微积分的导数概念仍是自己规定自己的。如果一上函数y=f(x),就有超实函数Y=f(x+dx),其中dy=f(x+dx)-f(x),这时函数的导数就等于dy/dx，其中dy和dx都是由函数自己来决定的，这才是关于导数的真理的认识。柯西的微积分理论是以极限理论问基础的，用黑格尔的话来说，这只是对于导数的外在的思。下面我们来看一看，极限理论是否真的没有问题吗？
[3]柯西的极限理论存在的问题
现在让我们从芝诺饽论说起，芝诺的这个饽论是：跑的最快的阿基里斯永远追不上爬的最慢的乌龟。大意是说，甲跑的速度远大于乙，但是乙比甲先行一段距离，甲为了赶上乙，必须超过乙开始的A点，但是甲到了A点，则乙又到了A_1点，而当甲到了A_1点，则乙又到了A_2点，两者的距而离越来越近，但是甲永远在乙的后面。显然甲与乙之间的距离仍是一个柯西所说的无穷小量。按照柯西的极限概念，无穷小量就是极限为0的变量。但是上述芝诺饽论是错误的，因此我有理由怀疑极限理论的正确性。柯西微积分的导数就是使用极限来定义的，因此我们也有理由怀疑它的正确性。
现在，我们来研究一下为什么会出现上述的问题。黑格尔认为，分立与连续两者的单纯统一，关于空间、时间、物质等无限可分或二律背反都可以归结到这种性质里去。这种二律背反，完全在于分立和连续都同样必须坚持。片面坚持分立，就是以无限的或绝对的已分之物，从而是以一个不可分物为根本，反之片面坚持连续，则是以无限可分为根本，这正是芝诺阿基里斯悖论的根源所在。[9]
众所周知，实数理论和极限理论是柯西微积分的理论基础。在实数理论中，连续性是实数的重要性质。实数的这种连续性是被看作绝对的，不可在承认连续性的同时，又承认分立性。从辩证法的角度看，连续性和分立性必须同时承认，否则就是错误。上述的芝诺饽论，以及极限概念下的定义存在悖论的原因就是因为实数理论只承认连续性，而不承认分立性的原因。只承认连续性，不承认分立性，是一种形而上学的片面的哲学思想，这就必然导致对立和自相矛盾。因此，实数的连续性观点就是错误的观点。而极限理论就是建立在实数的连续性的基础之上的，如果实数也存在分立性，则极限理论就失去了根据。
总之，柯西的微积分的极限概念、导数概念、实数概念都是来源于直观，因此它们都属于感觉或者直觉的东西。毛泽东主席指出，感觉只解决现象问题，理论才解决本质问题。因此柯西的微积分，包括经典微积分都是对微积分的感性认识阶段，而超实微积分才达到对于微积分的理性认识阶段。
参考文献省略，2021,8,15
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发表于 2021-8-15 11:13
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