三个高数相关问题：1. 记 a=lim(n→+∞)∑(k=0,n-1)120／√(n^2+kn)，求 a 的取整值

有好好生活吗

如图三个问题，求助

zytsang

第1题：

\[\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n^2+kn}}\right)
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}\right)
=\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x}}
=2\sqrt{x+1}\Big|^{x=1}_{x=0}
=2(\sqrt{2}-1)
<1\]

所以原题的整数部分为 \([a]=120\)

---

第2题：

我们有
\[\ln{(1+x)}\sim x\quad\text{as }x\to0^+\]
\[\lim_{x\to0^+}\frac{a^x-1}{x}=\ln{a}\]

计算自然对数的极限
\[\begin{aligned}
\lim_{x\to0^+}\ln{\left[\left(\frac{2^x+3^x}{2}\right)^{4/x}\right]}
&=\lim_{x\to0^+}\frac{4}{x}\ln{\left(\frac{2^x+3^x}{2}\right)} \\
&=\lim_{x\to0^+}\frac{4}{x}\ln{\left(1+\frac{2^x-1}{2}+\frac{3^x-1}{2}\right)} \\
&=\lim_{x\to0^+}\frac{4}{x}\left(\frac{2^x-1}{2}+\frac{3^x-1}{2}\right) \\
&=\lim_{x\to0^+}\frac{4}{2}\left(\frac{2^x-1}{x}+\frac{3^x-1}{x}\right) \\
&=2(\ln{2}+\ln{3}) \\
&=\ln{36}
\end{aligned}\]

所以原题为
\[\lim_{x\to0^+}\left(\frac{2^x+3^x}{2}\right)^{4/x}=e^{\ln{36}}=36\]

---

第3题：
对于任意非负整数 \(n\geq0\)， 我们有
\[\lim_{x\to\infty}e^{-x}x^n=0\]

定义
\[I(n):=\int_0^\infty e^{-x}x^n\,\mathrm{d}x\]

使用分部积分法，我们有
\[\begin{aligned}
I(n)
&=\int_0^\infty e^{-x}x^n\,\mathrm{d}x \\
&=-e^{-x}x^{n}\Big|_{x=0}^{x=\infty}
+n\int_0^\infty e^{-x}x^{n-1}\,\mathrm{d}x \\
&=0+n \cdot I(n-1)
\end{aligned}\]

因为
\[I(0)=\int_0^\infty e^{-x}\,\mathrm{d}x=1\]

所以有 \(I(n)=n!\)

所以原题为
\[I(6)=\int_0^{\infty}x^6e^{-x}\,\mathrm{d}x=6!=720\]

luyuanhong

楼上 zytsang 的解答很好！已收藏。

有好好生活吗

zytsang 发表于 2021-8-15 22:48
第1题：

\[\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n^2+kn}}\right)

那题是不是有处错误啊应该是240（√2-1）吧，整数部分是99

zytsang

有好好生活吗 发表于 2021-8-16 10:41
那题是不是有处错误啊应该是240（√2-1）吧，整数部分是99

对，整数部分应该是99