a,b,c 都是已知的正数，x,y 满足 axy-bx-cy=0 ，x＞0 ，y＞0 ，求 x+y 的最小值

fogking

\(a{,}b{,}c\) 是正常数。\(x{,}y\)满足\[axy-bx-cy=0{,}x>0{,}y>0\],求\(x+y\)的最小值。

小fisher

\(axy-bx-cy=0\)
\(xy-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}y+\frac{bc}{a^2}=\frac{bc}{a^2}\)
\(\left( x-\frac{c}{a}\right)\left( y-\frac{b}{a}\right)=\frac{bc}{a^2}\)
\(\left( x-\frac{c}{a}\right)+\left( y-\frac{b}{a}\right)\ge2\sqrt{\left( x-\frac{c}{a}\right)\left( y-\frac{b}{a}\right)}=2\sqrt{\frac{bc}{a^2}}=\frac{2\sqrt{bc}}{a}\)
\(x+y\ge\frac{2\sqrt{bc}+b+c}{a}\)

luyuanhong

波斯猫猫

题：a,b,c 都是已知的正数，x,y 满足 axy-bx-cy=0 ，x＞0 ，y＞0 ，求 x+y 的最小值。

思路：令 x+y=r，则ax（r-x）-bx-c（r-x）=0 。整理得，ax＾2-（ar+c-b）x+cr=0。

因x＞0，故（ar+c-b）＾2-4acr≥0。解得，ar-b-c≥2√bc，或ar-b-c≤-2√bc。

当ar-b-c=-2√bc时，有x=√c（√c-√b）/a，y=√c（√b-√c）/a，这不符合条件x＞0 且y＞0 。

故x+y=r≥（√b+√c）＾2/a。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

fogking

谢谢
都是技术性很强的解决方案