素数幻方欣赏

yangchuanju · 发表于 2021-8-18 08:11

素数幻方欣赏

3阶幻方
用正整数1-9可构成一个3阶幻方；为满足幻方的行列及对角线上3数和都等于15，数字5必须居中心；
用1-9可排列成4种不同形体的3阶幻方，如下表：
4 9 2 2 9 4
3 5 7 7 5 3
8 1 6 6 1 8

8 1 6 6 1 8
3 5 7 7 5 3
4 9 2 2 9 4

4种形式的3阶幻方均可分别旋转90,180,270度，形成另一些变形体，但它们被认为是同一个幻方，
故3阶幻方共4个。

在中国，右为上；4个只能位于角点的数字2,4,6,8中2最小，应居上首——右上角；
2的位置一经确定，其余7数（不含5）位置随之确定。
据此左上角的那个3阶幻方应排在第一位，编号1。

用9个连续整数（差均等于1）可编制一个3阶幻方（4个不同的形体都认为是同一个3阶幻方）；
用9个不等差的整数可编制成3阶幻方吗？
答案是肯定的，能！
将1,2,3分别减1；6,7,8分别加1，同样看编制成3阶幻方：
4 10 1 1 10 4
2 5 8 8 5 2
9 0 6 6 0 9

9 0 6 6 0 9
2 5 8 8 5 2
4 10 1 1 10 4

它们的幻和还是15。
不过其中含有一个数字0，人们看着不顺眼，便将它们都加1，得到幻和等于18的一个3阶幻方。
5 11 2 2 11 5
3 6 9 9 6 3
10 1 7 7 1 10

10 1 7 7 1 10
3 6 9 9 6 3
5 11 2 2 11 5

yangchuanju · 发表于 2021-8-18 08:14

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-8-18 10:06 编辑

3阶素数幻方
适当选定9个不同的素数，也可编制成一个3阶幻方。
这9个素数可以是公差相等的，也可以是不相等的（必须是三三等差，且三组之间也是等差的）；
这9个素数可以是连续的，也可以是不连续的。共有4种组合。

用9个公差相等的素数可容易地编制出一个3阶素数幻方，实际上可在基本幻方的基础上，依次从小到大将数字1-9替换成所选素数即可。
用3*3个公差相等的素数也可编制出一个3阶素数幻方，实际上可在幻和18的幻方的基础上，依次从小到大将幻方中的数字替换成所选素数即可。

下一步就是寻找素数的问题了！
（一）等差非连续9素数：
等差9生素数已被大量找到，最小的一组非连续素数是：
199 409 619 829 1039 1249 1459 1669 1879
用它们可编制成幻和等于3117的3阶素数幻方；
其次是
409 619 829 1039 1249 1459 1669 1879 2089
用它们可编制成幻和等于3747的3阶素数幻方；
再其次首素数为（A227284，公差210）
3499, 10859, 564973, 1288607, 1302281, 2358841, 3600521, 4047803, 17160749,
20751193, 23241473, 44687567, 50655739, 53235151, 87662609, 100174043, 103468003, 110094161,
180885839, 187874017, 192205147, 221712811, 243051733, 243051943, 304570103, ……

（二）等差连续9素数：
连续型等差9生素数也被找到一些，最小的3组9生素数的首素数和公差分别是：
79位的3416716311814 · 179#/(149·157) + x65 + 210n
80位的12606057030290 · 179#/(149·157) + x65 + 210n
80位的52515434335080 · 179#/(149·157) + x65 + 210n
表中x65 = 871034903388863 43449123705322656962705040008760706629856986802283

等差9生素数，特别是连续型等差9生素数，比较稀少，其数值都很大，难找难编（素数需分列）。

（三）非等差连续9素数：
可用于编制3阶素数幻方的连续型非等差9生素数也被找到一些，最小的一组9生素数的首素数是1480028129（A073519）：
9素数依次是
1480028129, 1480028141, 1480028153, 1480028159, 1480028171, 1480028183, 1480028189, 1480028201, 1480028213
间距依次是12,12,6,12,12,6,12,12
用它编制的3阶素数幻方是：
[ 1480028201 1480028129 1480028183 ]
[ 1480028153 1480028171 1480028189 ]
[ 1480028159 1480028213 1480028141 ]

更多的连续型非等差9生素数首素数是（A256891，公差？）：
1480028129, 1850590057, 5196185947, 5601567187, 5757284497, 6048371029, 6151077269, 9517122259, 19052235847, 20477868319,
23813359613, 24026890159, 26748150199, 28519991387, 34821326119, 44420969909, 49285771679, 73827799009, 73974781889,
74220519319, 76483907837, 76560277009, 80143089599, 85892025227, 89132925737, 95515449037, 99977424653，……

A256891虽未给出9生素数之差，但A166113又给出这些9生素数的中间素数，比较两组数据，再通过另2个涉差网页即可求出其差及全部素数：
1480028171, 1850590099, 5196185989, 5601567229, 5757284539, 6048371071, 6151077311, 9517122301, 19052235889, 20477868361,
23813359697, 24026890201, 26748150313, 28519991429, 34821326161, 44420969951, 49285771751, 73827799051, 73974781931
74220519391, 76483907879, 76560277051, 80143089671, 85892025269, 89132925809, 95515449079, 99977424731，……

用它们可编制成两类3阶素数幻方：
Let a = a(n) for some n and {a, b, c, d, e, f, g, h, i} be the set of consecutive primes. Then it is:
| d | c | h |             | c | d | h |
| i | e | a | (type 1), or | i | e | a | (type 2).
| b | g | f |             | b | f | g |

网页A343194、A343195分别给出对应公差的b和c值及适用模板：
p1+5b+2c | p1    | p1+4b+c  |
p1+2b | p1+3b+c  | p1+4b+2c |
p1+2b+c  | p1+6b+2c | p1+b    |

Type 1             Type 2
| p8 | p1 | p6 |    | p8 | p1 | p7 |
| p3 | p5 | p7 |    | p4 | p5 | p6 |
| p4 | p9 | p2 |    | p3 | p9 | p2 |
据此可编制出759对（用连续、非等差）3阶素数幻方。

【附注】网页显示，对每一组数据可编2个幻方，实际检验证明，第二格式不成幻方！

yangchuanju · 发表于 2021-8-18 08:22

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-8-19 17:28 编辑

（接上楼）
（四）非等差非连续9素数
以上三种类型的9素数数值都很大，本类型的9素数数值要小得多。
网页A267890给出该类3阶素数的幻和9952个，从大到小依次为：
177, 213, 219, 267, 309, 327, 381, 393, 411, 417, 447, 453, 471, 501, 519, 537, 573, 579, 633, 681, 717, 723, 753, 771, 789, 807,
813, 843, 849, 879, 921, 933, 1011, 1041, 1047, 1059, 1077, 1101, 1119, 1137, 1149, 1167, 1191, 1203, 1227, 1257, 1263, 1293 ……

网页A024351给出可编制幻和最小（177）的9个素数：
5, 17, 29, 47, 59, 71, 89, 101, 113
其差分别为12,12,18,12,12,18,12,12
网页A320872给出了前7组幻方所用到的63个素数（按幻方顺序排列）：
1 17 41 37 29 43 37 43
2 89 89 79 131 127 151 181
3 71 83 103 107 139 139 157
4 113 113 139 167 199 211 241
5 59 71 73 89 103 109 127
6 5 29 7 11 7 7 13
7 47 59 43 71 67 79 97
8 29 53 67 47 79 67 73
9 101 101 109 149 163 181 211
幻和 177 213 219 267 309 327 381
如第1列数字就是幻方
17 89 71
113 59 5
47 29 101

yangchuanju · 发表于 2021-8-18 08:23

（接上楼）
（五）包含1的非等差非连续9素数
1曾经被定义为素数，用1及其它8素数可编制出以下3阶幻方：
网页A073502给出包含1的3阶素数幻方的幻和35个，
111, 102, 213, 408, 699, 1114, 1681, 2416, 3355, 4514, 5937, 7626, 9635, 11986, 14691, 17818, 21373, 25394,
29873, 34926, 40511, 46664, 53445, 60898, 69045, 77888, 87473, 97850, 109065, 121126, 134113, 147982, 162759
其中最小的一组是111，由1, 7, 13, 31, 37, 43, 61, 67, 73构成。

除用一路增大差分别为a,a,b,a,a,b,a,a的9数编制3阶幻方外，还可用阶梯增大的9数来编制3阶幻方，差中的b可以是负值。
上面（三）中已有部分幻方数组中的b是负值的，下面说给幻方数组中也有b是负值的。

网页AA320871给出了前10组幻方所用到的90个最小正整数（按幻方顺序排列）：
1 2 2 3 3 2
2 7 9 7 8 11
3 6 7 8 7 8
4 9 11 11 10 13
5 5 6 6 6 7
6 1 1 1 2 1
7 4 5 4 5 6
8 3 3 5 4 3
9 8 10 9 9 12
幻和 15 18 18 18 21
a 1 1 2 1 1
b 1 2 -1 1 3

1 3 4 4 2 3
2 10 8 9 13 11
3 8 9 8 9 10
4 12 12 11 15 15
5 7 7 7 8 8
6 2 2 3 1 1
7 6 5 6 7 6
8 4 6 5 3 5
9 11 10 10 14 13
幻和 21 21 21 24 24
a 1 2 1 1 2
b 2 -1 1 4 1

还有更多的3阶幻方，不再述及。

yangchuanju · 发表于 2021-8-18 10:09

759个连续非等差3阶素数幻方一起做：（仅显示前30个）
1480028201 1480028129 1480028183
1480028153 1480028171 1480028189
1480028159 1480028213 1480028141

1850590129 1850590057 1850590111
1850590081 1850590099 1850590117
1850590087 1850590141 1850590069

5196186019 5196185947 5196186001
5196185971 5196185989 5196186007
5196185977 5196186031 5196185959

5601567259 5601567187 5601567241
5601567211 5601567229 5601567247
5601567217 5601567271 5601567199

5757284569 5757284497 5757284551
5757284521 5757284539 5757284557
5757284527 5757284581 5757284509

6048371101 6048371029 6048371083
6048371053 6048371071 6048371089
6048371059 6048371113 6048371041

6151077341 6151077269 6151077323
6151077293 6151077311 6151077329
6151077299 6151077353 6151077281

9517122331 9517122259 9517122313
9517122283 9517122301 9517122319
9517122289 9517122343 9517122271

19052235919 19052235847 19052235901
19052235871 19052235889 19052235907
19052235877 19052235931 19052235859

20477868391 20477868319 20477868373
20477868343 20477868361 20477868379
20477868349 20477868403 20477868331

23813359751 23813359613 23813359727
23813359673 23813359697 23813359721
23813359667 23813359781 23813359643

24026890231 24026890159 24026890213
24026890183 24026890201 24026890219
24026890189 24026890243 24026890171

26748150397 26748150199 26748150343
26748150259 26748150313 26748150367
26748150283 26748150427 26748150229

28519991459 28519991387 28519991441
28519991411 28519991429 28519991447
28519991417 28519991471 28519991399

34821326191 34821326119 34821326173
34821326143 34821326161 34821326179
34821326149 34821326203 34821326131

44420969981 44420969909 44420969963
44420969933 44420969951 44420969969
44420969939 44420969993 44420969921

49285771793 49285771679 49285771781
49285771739 49285771751 49285771763
49285771721 49285771823 49285771709

73827799081 73827799009 73827799063
73827799033 73827799051 73827799069
73827799039 73827799093 73827799021

73974781961 73974781889 73974781943
73974781913 73974781931 73974781949
73974781919 73974781973 73974781901

74220519433 74220519319 74220519421
74220519379 74220519391 74220519403
74220519361 74220519463 74220519349

76483907909 76483907837 76483907891
76483907861 76483907879 76483907897
76483907867 76483907921 76483907849

76560277081 76560277009 76560277063
76560277033 76560277051 76560277069
76560277039 76560277093 76560277021

80143089713 80143089599 80143089701
80143089659 80143089671 80143089683
80143089641 80143089743 80143089629

85892025299 85892025227 85892025281
85892025251 85892025269 85892025287
85892025257 85892025311 85892025239

89132925851 89132925737 89132925839
89132925797 89132925809 89132925821
89132925779 89132925881 89132925767

95515449109 95515449037 95515449091
95515449061 95515449079 95515449097
95515449067 95515449121 95515449049

99977424791 99977424653 99977424749
99977424689 99977424731 99977424773
99977424713 99977424809 99977424671

103987093619 103987093547 103987093601
103987093571 103987093589 103987093607
103987093577 103987093631 103987093559

121733374799 121733374727 121733374781
121733374751 121733374769 121733374787
121733374757 121733374811 121733374739

131615077621 131615077483 131615077597
131615077543 131615077567 131615077591
131615077537 131615077651 131615077513

yangchuanju · 发表于 2021-8-18 10:22

47个等差非连续非等差3阶素数幻方一起做：
1669 199 1249
619 1039 1459
829 1879 409

1879 409 1459
829 1249 1669
1039 2089 619

4969 3499 4549
3919 4339 4759
4129 5179 3709

12329 10859 11909
11279 11699 12119
11489 12539 11069

566443 564973 566023
565393 565813 566233
565603 566653 565183

1290077 1288607 1289657
1289027 1289447 1289867
1289237 1290287 1288817

1303751 1302281 1303331
1302701 1303121 1303541
1302911 1303961 1302491

2360311 2358841 2359891
2359261 2359681 2360101
2359471 2360521 2359051

3601991 3600521 3601571
3600941 3601361 3601781
3601151 3602201 3600731

4049273 4047803 4048853
4048223 4048643 4049063
4048433 4049483 4048013

17162219 17160749 17161799
17161169 17161589 17162009
17161379 17162429 17160959

20752663 20751193 20752243
20751613 20752033 20752453
20751823 20752873 20751403

23242943 23241473 23242523
23241893 23242313 23242733
23242103 23243153 23241683

44689037 44687567 44688617
44687987 44688407 44688827
44688197 44689247 44687777

50657209 50655739 50656789
50656159 50656579 50656999
50656369 50657419 50655949

53236621 53235151 53236201
53235571 53235991 53236411
53235781 53236831 53235361

87664079 87662609 87663659
87663029 87663449 87663869
87663239 87664289 87662819

100175513 100174043 100175093
100174463 100174883 100175303
100174673 100175723 100174253

103469473 103468003 103469053
103468423 103468843 103469263
103468633 103469683 103468213

110095631 110094161 110095211
110094581 110095001 110095421
110094791 110095841 110094371

180887309 180885839 180886889
180886259 180886679 180887099
180886469 180887519 180886049

187875487 187874017 187875067
187874437 187874857 187875277
187874647 187875697 187874227

192206617 192205147 192206197
192205567 192205987 192206407
192205777 192206827 192205357

221714281 221712811 221713861
221713231 221713651 221714071
221713441 221714491 221713021

243053203 243051733 243052783
243052153 243052573 243052993
243052363 243053413 243051943

243053413 243051943 243052993
243052363 243052783 243053203
243052573 243053623 243052153

304571573 304570103 304571153
304570523 304570943 304571363
304570733 304571783 304570313

313617467 313615997 313617047
313616417 313616837 313617257
313616627 313617677 313616207

317345323 317343853 317344903
317344273 317344693 317345113
317344483 317345533 317344063

398650337 398648867 398649917
398649287 398649707 398650127
398649497 398650547 398649077

453802963 453801493 453802543
453801913 453802333 453802753
453802123 453803173 453801703

461840629 461839159 461840209
461839579 461839999 461840419
461839789 461840839 461839369

473241007 473239537 473240587
473239957 473240377 473240797
473240167 473241217 473239747

498162893 498161423 498162473
498161843 498162263 498162683
498162053 498163103 498161633

498163103 498161633 498162683
498162053 498162473 498162893
498162263 498163313 498161843

557894983 557893513 557894563
557893933 557894353 557894773
557894143 557895193 557893723

649706417 649704947 649705997
649705367 649705787 649706207
649705577 649706627 649705157

683706383 683704913 683705963
683705333 683705753 683706173
683705543 683706593 683705123

687503627 687502157 687503207
687502577 687502997 687503417
687502787 687503837 687502367

704785903 704784433 704785483
704784853 704785273 704785693
704785063 704786113 704784643

711776393 711774923 711775973
711775343 711775763 711776183
711775553 711776603 711775133

721706059 721704589 721705639
721705009 721705429 721705849
721705219 721706269 721704799

787115293 787113823 787114873
787114243 787114663 787115083
787114453 787115503 787114033

794391893 794390423 794391473
794390843 794391263 794391683
794391053 794392103 794390633

805265767 805264297 805265347
805264717 805265137 805265557
805264927 805265977 805264507

868252327 868250857 868251907
868251277 868251697 868252117
868251487 868252537 868251067

977686147 977684677 977685727
977685097 977685517 977685937
977685307 977686357 977684887

yangchuanju · 发表于 2021-8-18 13:50

网页A268970给出30万内3阶素数幻方的幻和9552个，折算成中心点素数，就是说10万内有9552个素数可充当3阶素数幻方的中心点素数。
又知10万内共有9592个素数，可以看出，几乎所有素数都可以充当3阶素数幻方的中心点素数。
某些中心点素数可编制一个3阶素数幻方，某一些中心点素数可能编制出多个3阶素数幻方。

网页A073350给出不能充当3阶素数幻方中心点的素数40个，看来也就这40个素数的3倍不是3阶素数幻方的幻和了，它们是：
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, 67, 79, 83, 97, 101, 107,
113, 163, 181, 197, 199, 223, 229, 233, 277, 313, 317, 331, 433, 439, 457, 569, 859

寻找与9552个素数对应的可编幻方的9素数，并不是一件容易事，当素数不是很大时，可先选定某个素数p，然后在这个素数p之上分别加减6,12,18，……直到减后最小数不小于0；接着再找出差及和中的素数对；
分析各素数对之间的间距，试算法找出满足p3-p2=p2-p1=p5-p4（=p6-p5=p8-p7=p9-p8），p4-p3=p7-p6的素数组，
然后就可以用所选定的9素数编制3阶素数幻方了！

费尔马1 · 发表于 2021-8-18 16:39

广义三阶幻方的制作方法:
一、初始方阵:例如，
1 4  7
6 9  12
11 14 17
   A
方阵A，行方向的公差是3，称行差=3，
列方向的公差是5，称列差=5，在这里，列差不能等于3，也不能等于6，不然，就会有重复数字。方阵A称为行列等差方阵。
二、把方阵A从小到大依次编号，
①1 ②4  ③7
④6 ⑤9  ⑥12
⑦11 ⑧14 ⑨17
      B
三、模板幻方，
6 1 8
7 5 3
2 9 4
   C
四、把幻方C看成是编号幻方，把B的编号数字对号入座，得幻方D:
12 1 14
11 9 7
4 17  6
   D

费尔马1 · 发表于 2021-8-18 16:43

运用广义三阶幻方的制作方法可以制作三阶素数幻方。简单快捷。

yangchuanju · 发表于 2021-8-18 17:08

3阶幻方模板
等差9数模板（镜像产物，4个形体实为1个）
4 9 2 2 9 4
3 5 7 7 5 3
8 1 6 6 1 8

8 1 6 6 1 8
3 5 7 7 5 3
4 9 2 2 9 4

双等差3*3模板（镜像产物，4个形体实为1个，与等差9数模板相同，唯各加一个p）
p1 p4=p1+c p7=p1+2c
p2=p1+b p5=p4+b p8=p7+b
p3=p1+2b p6=p4+2b p9=p7+2b
p4 p9 p2 p2 p9 p4
p3 p5 p7 p7 p5 p3
p8 p1 p6 p6 p1 p8

p8 p1 p6 p6 p1 p8
p3 p5 p7 p7 p5 p3
p4 p9 p2 p2 p9 p4

前楼给出的759幻方和47幻方按左下角模板编制。

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