求所有“各位数字之和等于 8 的四位数”相加的总和

Bathan_Tam

求所有“各位数字之和等于 8 的四位数”相加的总和

请教方法

lihp2020

数位之和等于8的四位数意思 是如 1232 2222 4211 5111 等  4个位置上的和 求和起来等于8的 4位数？？
题意是 求这些 所有  数字的和？？

lihp2020

表达式 ：
(1*C(6,2)+2*C(5,2)+3*C(4,2)+4*C(3,2)+5*C(2,2))*1111
其中*1111  如何解释 只能意会 不好解释出来  其他的我还能解释  
这种题 应该陆老师 给详细的步骤

lihp2020

解释这个表达式
(1*C(6,2)+2*C(5,2)+3*C(4,2)+4*C(3,2)+5*C(2,2))*1111
(分析一下 发现 这个表达式和原题有点不一样)

这个表达式 限制了 这个4位数 每位都不能为0
相当于 【求所有「数位之和等于8的四位数且每位都不能是0」的和】

简单解释这个问题 后面在对原问题分析
不管怎么样  对任意位  出现的某个数字次数的都是一样的
如 千位 出现5  N次 那么百位 出现5也是N次   有5abc 肯定对应有a5bc 这样的数

所以我们只需要 单独考虑 这一堆数字的一个位置就好 一位的结果 求和*1111

由于每个位置都不能为0  就【隔板法】(这个很重要)  可以知道 这些数字一共有C（7，3）种
如果 某位选择了1  剩下三位就是 7个组成3位  【隔板法】 就是有C（6，2）种
如果 某位选择了2  剩下三位就是 6个组成3位  【隔板法】 就是有C（5，2）种
如果 某位选择了3  剩下三位就是 5个组成3位  【隔板法】 就是有C（4，2）种
如果 某位选择了4  剩下三位就是 4个组成3位  【隔板法】 就是有C（3，2）种
(4112,4121,4211)
如果 某位选择了5  剩下三位就是 3个组成3位  【隔板法】 就是有C（2，2）种
(5111)
....
所以就是1*C(6,2)+2*C(5,2)+3*C(4,2)+4*C(3,2)+5*C(2,2)

再来分析原题 没有要求 百十个 位  不可以为 0

如果简单 把0 算进去  每个位置 出现的数字 就不一样了
可以有3个解题思路
a
百十个 位 出现某个数字是一样的  千位出现时不一样的
单独分析千位 和  百十个一起分析
如果千位是x   百十个是y  结果 就应该是x*1000+y*111
b
分类  不带0  带一个0 带2个0 带3个0

  不带0 前面分析了
  带一个 0  其实 就是 【所有「数位之和等于8的三位数且每位都不能是0」的和】有关
  按照上面分析 就要XXX*111
  
  对任意的abc  就有a0bc ab0c abc0
  4位数 就是XXXX *2222
  同理  带2个0 带3个0 也是一样
c  
前面可以是0  如 0125  0008 也一起算  在减去前面是0的

这个结果 就是XXXX*1111-YYYY*111

后面有空每种都解释一下

luyuanhong