难为一下老师们，求\(sin(2^{10000})\)是正数还是负数？可以用电脑辅助请描述数学思路

awei

难为一下老师们，求\(sin(2^{10000})\)是正数还是负数？可以用电脑辅助请描述数学思路

awei

ysr 发表于 2021-8-21 20:15
所以其sin,cos 都是负值，tan是正值。

采用弧度制有时候很麻烦，优点是可以与全体实数对应。

求\(tan(2^{10000})\)，只要求出二进制的\(\frac{2}{\pi}\)小数点后第10000位的数是1还是0,
是0,\(tan(2^{10000})>0\)
是1\(tan(2^{10000})<0\)

二进制的\(\frac{2}{\pi}\)小数点后第10000位的数是为0，故\(tan(2^{10000})>0\)。



求\(cos(2^{10000})\)，就要求出\(sin(2^{10000})\)是正还是负，还有\(sin(2^{10001})\)是正还是负。
根据以前求sin正负的方法
，
二进制\(\frac{1}{\pi}\)第10000位是1，,第10001位都是0
这说明\(sin(2^{10000})\)是负数，\(sin(2^{10001})\)是正数。
根据二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(a)
可知\(sin(2^{10001})=2sin(2^{10000})\)\(cos(2^{10000})\)
正数=负数*负数
就可以得出\(cos(2^{10000})<0\)

awei

对于一些类型大数的三角函数值，我们利用现在的电脑技术，求出其正负性质还是可行的
像\(cos(2^{10000}),tan(2^{10000})\)这样类型三角函数的正负性质，都是可以用Mathematica在普通电脑1秒内求出

ysr

2^10000=有3011位，用时0.0234375秒19950631168807583848837421626835850838234968318861924548520089498529438830221946631919961684036194597899331129423209124271556491349413781117593785932096323957855730046793794526765246551266059895520550086918193311542508608460618104685509074866089624888090489894838009253941633257850621568309473902556912388065225096643874441046759871626985453222868538161694315775629640762836880760732228535091641476183956381458969463899410840960536267821064621427333394036525565649530603142680234969400335934316651459297773279665775606172582031407994198179607378245683762280037302885487251900834464581454650557929601414833921615734588139257095379769119277800826957735674444123062018757836325502728323789270710373802866393031428133241401624195671690574061419654342324638801248856147305207431992259611796250130992860241708340807605932320161268492288496255841312844061536738951487114256315111089745514203313820202931640957596464756010405845841566072044962867016515061920631004186422275908670900574606417856951911456055068251250406007519842261898059237118054444788072906395242548339221982707404473162376760846613033778706039803413197133493654622700563169937455508241780972810983291314403571877524768509857276937926433221599399876886660808368837838027643282775172273657572744784112294389733810861607423253291974813120197604178281965697475898164531258434135959862784130128185406283476649088690521047580882615823961985770122407044330583075869039319604603404973156583208672105913300903752823415539745394397715257455290510212310947321610753474825740775273986348298498340756937955646638621874569499279016572103701364433135817214311791398222983845847334440270964182851005072927748364550578634501100852987812389473928699540834346158807043959118985815145779177143619698728131459483783202081474982171858011389071228250905826817436220577475921417653715687725614904582904992461028630081535583308130101987675856234343538955409175623400844887526162643568648833519463720377293240094456246923254350400678027273837755376406726898636241037491410966718557050759098100246789880178271925953381282421954028302759408448955014676668389697996886241636313376393903373455801407636741877711055384225739499110186468219696581651485130494222369947714763069155468217682876200362777257723781365331611196811280792669481887201298643660768551639860534602297871557517947385246369446923087894265948217008051120322365496288169035739121368338393591756418733850510970271613915439590991598154654417336311656936031122249937969999226781732358023111862644575299135758175008199839236284615249881088960232244362173771618086357015468484058622329792853875623486556440536962622018963571028812361567512543338303270029097668650568557157505516727518899194129711337690149916181315171544007728650573189557450920330185304847113818315407324053319038462084036421763703911550639789000742853672196280903477974533320468368795868580237952218629120080742819551317948157624448298518461509704888027274721574688131594750409732115080498190455803416826949787141316063210686391511681774304792596709376

awei

ysr 发表于 2021-8-21 12:26
2^10000=有3011位，用时0.0234375秒1995063116880758384883742162683585083823496831886192454852008949852 ...

\(sin(2^{10000})\)，不是\(2^{10000}\)

ysr

19950631168807583848837421626835850838234968318861924548520089498529438830221946631919961684036194597899331129423209124271556491349413781117593785932096323957855730046793794526765246551266059895520550086918193311542508608460618104685509074866089624888090489894838009253941633257850621568309473902556912388065225096643874441046759871626985453222868538161694315775629640762836880760732228535091641476183956381458969463899410840960536267821064621427333394036525565649530603142680234969400335934316651459297773279665775606172582031407994198179607378245683762280037302885487251900834464581454650557929601414833921615734588139257095379769119277800826957735674444123062018757836325502728323789270710373802866393031428133241401624195671690574061419654342324638801248856147305207431992259611796250130992860241708340807605932320161268492288496255841312844061536738951487114256315111089745514203313820202931640957596464756010405845841566072044962867016515061920631004186422275908670900574606417856951911456055068251250406007519842261898059237118054444788072906395242548339221982707404473162376760846613033778706039803413197133493654622700563169937455508241780972810983291314403571877524768509857276937926433221599399876886660808368837838027643282775172273657572744784112294389733810861607423253291974813120197604178281965697475898164531258434135959862784130128185406283476649088690521047580882615823961985770122407044330583075869039319604603404973156583208672105913300903752823415539745394397715257455290510212310947321610753474825740775273986348298498340756937955646638621874569499279016572103701364433135817214311791398222983845847334440270964182851005072927748364550578634501100852987812389473928699540834346158807043959118985815145779177143619698728131459483783202081474982171858011389071228250905826817436220577475921417653715687725614904582904992461028630081535583308130101987675856234343538955409175623400844887526162643568648833519463720377293240094456246923254350400678027273837755376406726898636241037491410966718557050759098100246789880178271925953381282421954028302759408448955014676668389697996886241636313376393903373455801407636741877711055384225739499110186468219696581651485130494222369947714763069155468217682876200362777257723781365331611196811280792669481887201298643660768551639860534602297871557517947385246369446923087894265948217008051120322365496288169035739121368338393591756418733850510970271613915439590991598154654417336311656936031122249937969999226781732358023111862644575299135758175008199839236284615249881088960232244362173771618086357015468484058622329792853875623486556440536962622018963571028812361567512543338303270029097668650568557157505516727518899194129711337690149916181315171544007728650573189557450920330185304847113818315407324053319038462084036421763703911550639789000742853672196280903477974533320468368795868580237952218629120080742819551317948157624448298518461509704888027274721574688131594750409732115080498190455803416826949787141316063210686391511681774304792596709376/360=

55418419913354399580103948963432918995097134219060901523666915273692885639505407310888782455656096105275919803953358678532101364859482725326649405366934233216265916796649429241014573753516833043112639130328314754284746134612828068570858541294693402466918027485661136816504536827362837689748538618213645522403403046232984558463221865630515147841301494893595321598971224341213557668700634819699004100510989948497137399720585669334822966169623948409259427879237682359807230951889541581667599817546254053604925776849376683812727865022206106054464939571343784111214730237464588613429068281818473772026670596760893377040522609047487166025331327224519327043540122564061163216212015285356454970196417705007962202865078147892782289432421362705726165706506457330003469044853625576199978498921656250363869056226967613354460923111559079145245822932892535677948713163754130872934208641915959761675871722785921224882212402100028905127337683533458230186156986283112863900517839655301863612707240049602644198489041856253473350020888450727494608991994595679966869184431229300942283285298345758784379891240591760496405666120592214259704596174168231027604043078449391591141620253651121032993124356971825769272017870059998332991351835578802327327854564674375478537937702068844756373304816141282242842370255485592000548900495227682492988606012586828983710999618844805911626128565212914135251447354391340599511005516028117797345362730766302886998901676124925434953357422516425835843757842820943737206660320159598029195034197075893363204096738168820205517634162495390991494321240662838540470831330601589176948234536488381150866087217286066238464817889641567174586125202577078790418273984725280147188367748538690832057873183774464010997552738375404942158732276940911476276343842228004097172699605587191864522919182852270656168270766448382371432465904485846063624979058412861337598842522583616632432933984287608209469932287224569132017118454357357870887399223270259000262378463675706528890772297982882653823352019162878447326365030463107102918775272500685527444939644238759392451172094523063220579024875040768523304716658017337878648267760842704043892798990949660308487178404831941972740189499157171254125362483951027632541008525431856160230211667674381271454948237032253324475779979637449686670274010168801532332945929450827420993105409403462137352564133039627633936133475334228793045244913988164226023162204421545607594029197139643371987332197198883762928937045310158155642006249827694442296615923216730866285123820275377106041689443997878568375694114136000645123228260476716906547265190233496173138313482987843018212334824896172274898808413367671020868175939731305636382412918245992104181990909774719983693642604694860878281431032066688135140481082104030334250514735686427273098353677925886217950233434504899177532085110525002063482422767446954105484814779078802210746056216533940636444668730054309216522660067911940329059749180244520207559929689254429862249255875223606084599453935630416075392544620029684420865782706402201657526/16

余数为16，所以其sin,cos,tan 都是正值。

ysr

awei 发表于 2021-8-21 04:35
\(sin(2^{10000})\)，不是\(2^{10000}\)

额，2^10000是角度吧，是角度制？如果是弧度制那就没法算了，得规定一下2π=2*3.141592653589……

awei

ysr 发表于 2021-8-21 12:39
1995063116880758384883742162683585083823496831886192454852008949852943883022194663191996168403619459 ...

弧度制啊，\(2^{10000}\)除以π的余数，好像您的计算机用的银河吧

ysr

awei 发表于 2021-8-21 04:50
弧度制啊，\(2^{10000}\)除以π的余数，好像您的计算机用的银河吧

我是按角度制计算的，如果是弧度制那我就算不了了，π的值必须明确规定精确到点后第几位，否则不准确甚至是错误的。

awei

ysr 发表于 2021-8-21 12:57
我是按角度制计算的，如果是弧度制那我就算不了了，π的值必须明确规定精确到点后第几位，否则不准确甚至 ...

用电脑求出二进制1/π，小数点后第10000位上的数字即可。
如果是1，那么\(sin(2^{10000})<0\)。
如果是0，那么\(sin(2^{10000})>0\)。

故\(sin(2^{10000})<0\)

ysr

awei 发表于 2021-8-21 05:08
用电脑求出二进制1/π，小数点后第10000位上的数字即可。
如果是1，那么\(sin(2^{10000})0\)。

额，方法巧妙，学习一下，我按我的方法验证一下？π的值按3.141592653589计算（点后有12位），我的程序是治给出整数部分，先分子要补12*2=24个0，分母2*3.141592653589=6.283185307178去掉小数点。

结果中的商值的末尾12位就是小数。再*360得到的就是角度，试试看是几？