x 是整数，满足方程 (1+1/x)^(x+1)=(1+1/2016)^2016 ，求 x

popo987654

请教解法

luyuanhong

Nicolas2050

见图计算案例

cgl_74

我来给出一个严谨完整的解法，供交流讨论

hannah8201

咱们课本上是按最简分式+分类讨论来的

luyuanhong

楼上 cgl_74 的解答已收藏。

popo987654

谢谢各位提供的不同思路~

王守恩

Nicolas2050 发表于 2021-8-21 22:25
见图计算案例

受3楼启发，不就是个恒等变换？!

\((\frac{x+1}{x})^{x}\equiv(\frac{x}{x+1})^{-x}\equiv(\frac{-x}{-x-1})^{-x}\equiv(\frac{-x-1}{-x})^{x}\)

联系本题：已知\((\frac{2017}{2016})^{2016}\) 指数=分母，求\((\frac{x+1}{x})^{x+1}\) 指数=分子，

即：\((\frac{x+1}{x})^{x}\equiv(\frac{-x}{-x-1})^{-x}\)  2016=x   -x-1=-2017

或：\((\frac{x+1}{x})^{x}\equiv(\frac{-x}{-x-1})^{-x}\)  2017=x+1   -x-1=-2017

......

Nicolas2050

:lol:lol

天山草

3 楼和 8 楼都给出了恒等变换的解法。但是这个思路不是一开始就能想到的。一般步骤可能是先判断解的范围和个数，因此先用软件画出方程左右两边的图像如下。下图中蓝线是方程左边的图像，红线是方程右边的图像。



然后，由于当 x>0 时 (1+x)^(x+1)>(1+x)^x，所以当 x>0 时 (1+x)^(x+1)>(1+2016)^2016，故原方程当 x>0 时无解。

为了求出 x<0 时的解，令 y=-x，于是：