3阶素数幻立方的各种变态

yangchuanju · 发表于 2021-8-23 09:12

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-8-23 09:15 编辑

3阶素数幻立方的各种变态
《西游记》中的孙悟空有十分高强的变态能力，据说他会72变；
究竟72变是个大约数字还是精确数字，没有见人对《西游记》中孙悟空的变态进行统计。

然而一款3阶幻立方确有48种不同的变体，这是准确无误的。
请看以下分析：

幻方大师钟明先生曾经发布一款以3309为幻和的3阶素数幻立方，见《13款3阶素数幻立方》中的第一款。
第一枚最小3阶素数幻立方
第一层;
2153  929 227
839 947 1523
317 1433  1559
第二层
509 1607  1193
1787  1103  419
1013  599 1697
第三层
647 773 1889
683 1259  1367
1979  1277  53

该幻立方共使用13对26个互补素数，分布在立方体的6个表面中心，8个顶点，12条棱的中心。
用第一款3阶素数幻立方所选用的14对互补素数（包括1103+1103）能否编制成第二、第三个3阶素数幻立方？
钟明大师在编制本类3阶素数幻立方时使用了一套5参数模板，模板中的e是幻立方的中心素数，是明确的；
但左上角的a，b，c，d四数如何取定？

yangchuanju · 发表于 2021-8-23 09:17

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-8-23 09:21 编辑

1103必须占据立方体的中心，其余26素数分成13对分布在幻立方的外围，
要解决这个问题，只需从中任选4数，逐个试验一遍即可。
26*25*24*23=358800
任选26素数中的4素数，令它们分别等于a,b,c,d；再分别计算出其余22个数字，
经检验它们的行和、列和、竖和、体对角线和、中截面对角线和全都等于3309，
细查，发现它们之中有不少负数。
我们所要求的幻立方不应含有负数，理应去掉，仅取各个3数和都不含负数的，
还剩86320种组合。

再细查还发现其中的数字不全是素数，还必须筛除其中的合数。
取前20000组组合，用分解软件计算其中只有198组数字全是素数的，除掉它们；
三查它们之中含有相同素数，还要三次筛分；
经第三次筛分之后剩余24组由不同素数构成的组合。
对20001-40000组组合筛分，其中全是素数的301组，全是不同素数的0组（没有）；
对40001-60000组组合筛分，其中全是素数的***组，全是不同素数的0组（没有）；
对60001-80000组组合筛分，其中全是素数的276组，全是不同素数的6组；
对80001-86320组组合筛分，其中全是素数的56组，全是不同素数的18组；
总计有效的全由不同素数构成的组合数只有48组。
四查，这48组组合数中的素数都与原幻立方中所含素数相同，没有26个素数以外的任何素数。
细分48组组合素数中，只由8个素数领头，各自率领6个组合素数。
五查，这里的8个素数就是幻立方8个顶点的那8个素数。
8顶点素数
2153 227
317 1559
647 1889
1979 53
其余的12棱中素数，6面芯素数都无资格当个小班长——领领头。

以最小素数53为例，6数组分别是：
1 53 53 53 53 53 53
2 1277 1277 1367 1367 1697 1697
3 1979 1979 1889 1889 1559 1559
4 1367 1697 1277 1697 1277 1367
5 1259 599 1259 419 599 419
6 683 1013 773 1193 1433 1523
7 1889 1559 1979 1559 1979 1889
8 773 1433 683 1523 1013 1193
9 647 317 647 227 317 227
10 1697 1367 1697 1277 1367 1277
11 599 1259 419 1259 419 599
12 1013 683 1193 773 1523 1433
13 419 419 599 599 1259 1259
14 1103 1103 1103 1103 1103 1103
15 1787 1787 1607 1607 947 947
16 1193 1523 1013 1433 683 773
17 1607 947 1787 947 1787 1607
18 509 839 509 929 839 929
19 1559 1889 1559 1979 1889 1979
20 1433 773 1523 683 1193 1013
21 317 647 227 647 227 317
22 1523 1193 1433 1013 773 683
23 947 1607 947 1787 1607 1787
24 839 509 929 509 929 839
25 227 227 317 317 647 647
26 929 929 839 839 509 509
27 2153 2153 2153 2153 2153 2153

只考察各组数字中的1,2,4,5，它们相当于模板中的a,b,c,d。
6种组合分别为：
53,1277,1367,1259；
53,1367,1277,1259；
53,1277,1697,599；
53,1697,1277,599；
53,1367,1697,419；
53,1697,1367,419。

其余七组素数也全是这样。

yangchuanju · 发表于 2021-8-23 09:23

幻立方的各种变形体
将原始幻立方分别进行行重组、列重组和转置变换，可得6种（含原型），
它们仍然都是含37组幻和的3阶幻立方：
其余重组变形体仍为上述6种变形体之一。
刚好对应b,c,d的6种排列数：
bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb。
（一）原始幻立方（二）上中下面转置
2153 929 227 2153 839 317
839 947 1523 929 947 1433
317 1433 1559 227 1523 1559

509 1607 1193 509 1787 1013
1787 1103 419 1607 1103 599
1013 599 1697 1193 419 1697

647 773 1889 647 683 1979
683 1259 1367 773 1259 1277
1979 1277 53 1889 1367 53

（三）行重组（四）行重组再转置
2153 929 227 2153 509 647
509 1607 1193 929 1607 773
647 773 1889 227 1193 1889

839 947 1523 839 1787 683
1787 1103 419 947 1103 1259
683 1259 1367 1523 419 1367

317 1433 1559 317 1013 1979
1013 599 1697 1433 599 1277
1979 1277 53 1559 1697 53

（五）列重组（六）列重组再转置
2153 839 317 2153 509 647
509 1787 1013 839 1787 683
647 683 1979 317 1013 1979

929 947 1433 929 1607 773
1607 1103 599 947 1103 1259
773 1259 1277 1433 599 1277

227 1523 1559 227 1193 1889
1193 419 1697 1523 419 1367
1889 1367 53 1559 1697 53

幻立方还可以进行其它变形，如3种镜像（反转）、3*4种旋转、中心点对称体，
这些变形都没有改变bcd的排列顺序。

经计算和分析可知，用钟明给出的3阶素数幻立方模板，abcd四参数共有48种组合，
对应着用预先选定的13+1/2对互补素数对可编制出48种不同的3阶素数幻立方。
其中两两成对，互为中心点的对称体，故可以认为一经选出一组可编制成3阶素数幻立方的13+1/2对互补素数对，便可编制出24种不同的3阶幻立方。

yangchuanju · 发表于 2021-8-23 09:26

以53领头的6素数组
1 53 53 53 53 53 53
2 1277 1277 1367 1367 1697 1697
3 1979 1979 1889 1889 1559 1559
4 1367 1697 1277 1697 1277 1367
5 1259 599 1259 419 599 419
6 683 1013 773 1193 1433 1523
7 1889 1559 1979 1559 1979 1889
8 773 1433 683 1523 1013 1193
9 647 317 647 227 317 227
10 1697 1367 1697 1277 1367 1277
11 599 1259 419 1259 419 599
12 1013 683 1193 773 1523 1433
13 419 419 599 599 1259 1259
14 1103 1103 1103 1103 1103 1103
15 1787 1787 1607 1607 947 947
16 1193 1523 1013 1433 683 773
17 1607 947 1787 947 1787 1607
18 509 839 509 929 839 929
19 1559 1889 1559 1979 1889 1979
20 1433 773 1523 683 1193 1013
21 317 647 227 647 227 317
22 1523 1193 1433 1013 773 683
23 947 1607 947 1787 1607 1787
24 839 509 929 509 929 839
25 227 227 317 317 647 647
26 929 929 839 839 509 509
27 2153 2153 2153 2153 2153 2153

以227领头的6素数组
1 227 227 227 227 227 227
2 929 929 1193 1193 1523 1523
3 2153 2153 1889 1889 1559 1559
4 1193 1523 929 1523 929 1193
5 1607 947 1607 419 947 419
6 509 839 773 1367 1433 1697
7 1889 1559 2153 1559 2153 1889
8 773 1433 509 1697 839 1367
9 647 317 647 53 317 53
10 1523 1193 1523 929 1193 929
11 947 1607 419 1607 419 947
12 839 509 1367 773 1697 1433
13 419 419 947 947 1607 1607
14 1103 1103 1103 1103 1103 1103
15 1787 1787 1259 1259 599 599
16 1367 1697 839 1433 509 773
17 1259 599 1787 599 1787 1259
18 683 1013 683 1277 1013 1277
19 1559 1889 1559 2153 1889 2153
20 1433 773 1697 509 1367 839
21 317 647 53 647 53 317
22 1697 1367 1433 839 773 509
23 599 1259 599 1787 1259 1787
24 1013 683 1277 683 1277 1013
25 53 53 317 317 647 647
26 1277 1277 1013 1013 683 683
27 1979 1979 1979 1979 1979 1979

以317领头的6素数组
1 317 317 317 317 317 317
2 839 839 1013 1013 1433 1433
3 2153 2153 1979 1979 1559 1559
4 1013 1433 839 1433 839 1013
5 1787 947 1787 599 947 599
6 509 929 683 1277 1523 1697
7 1979 1559 2153 1559 2153 1979
8 683 1523 509 1697 929 1277
9 647 227 647 53 227 53
10 1433 1013 1433 839 1013 839
11 947 1787 599 1787 599 947
12 929 509 1277 683 1697 1523
13 599 599 947 947 1787 1787
14 1103 1103 1103 1103 1103 1103
15 1607 1607 1259 1259 419 419
16 1277 1697 929 1523 509 683
17 1259 419 1607 419 1607 1259
18 773 1193 773 1367 1193 1367
19 1559 1979 1559 2153 1979 2153
20 1523 683 1697 509 1277 929
21 227 647 53 647 53 227
22 1697 1277 1523 929 683 509
23 419 1259 419 1607 1259 1607
24 1193 773 1367 773 1367 1193
25 53 53 227 227 647 647
26 1367 1367 1193 1193 773 773
27 1889 1889 1889 1889 1889 1889

以647领头的6素数组
1 647 647 647 647 647 647
2 509 509 683 683 773 773
3 2153 2153 1979 1979 1889 1889
4 683 773 509 773 509 683
5 1787 1607 1787 1259 1607 1259
6 839 929 1013 1277 1193 1367
7 1979 1889 2153 1889 2153 1979
8 1013 1193 839 1367 929 1277
9 317 227 317 53 227 53
10 773 683 773 509 683 509
11 1607 1787 1259 1787 1259 1607
12 929 839 1277 1013 1367 1193
13 1259 1259 1607 1607 1787 1787
14 1103 1103 1103 1103 1103 1103
15 947 947 599 599 419 419
16 1277 1367 929 1193 839 1013
17 599 419 947 419 947 599
18 1433 1523 1433 1697 1523 1697
19 1889 1979 1889 2153 1979 2153
20 1193 1013 1367 839 1277 929
21 227 317 53 317 53 227
22 1367 1277 1193 929 1013 839
23 419 599 419 947 599 947
24 1523 1433 1697 1433 1697 1523
25 53 53 227 227 317 317
26 1697 1697 1523 1523 1433 1433
27 1559 1559 1559 1559 1559 1559

yangchuanju · 发表于 2021-8-23 09:27

以2153领头的6素数组（经适当排序为以53领头的6素数组的倒序数值）
其中第6列数字就是原始幻立方的27的素数。
1 2153 2153 2153 2153 2153 2153
2 509 509 839 839 929 929
3 647 647 317 317 227 227
4 839 929 509 929 509 839
5 1787 1607 1787 947 1607 947
6 683 773 1013 1433 1193 1523
7 317 227 647 227 647 317
8 1013 1193 683 1523 773 1433
9 1979 1889 1979 1559 1889 1559
10 929 839 929 509 839 509
11 1607 1787 947 1787 947 1607
12 773 683 1433 1013 1523 1193
13 947 947 1607 1607 1787 1787
14 1103 1103 1103 1103 1103 1103
15 1259 1259 599 599 419 419
16 1433 1523 773 1193 683 1013
17 599 419 1259 419 1259 599
18 1277 1367 1277 1697 1367 1697
19 227 317 227 647 317 647
20 1193 1013 1523 683 1433 773
21 1889 1979 1559 1979 1559 1889
22 1523 1433 1193 773 1013 683
23 419 599 419 1259 599 1259
24 1367 1277 1697 1277 1697 1367
25 1559 1559 1889 1889 1979 1979
26 1697 1697 1367 1367 1277 1277
27 53 53 53 53 53 53

以1979领头的6素数组（经适当排序为以227领头的6素数组的倒序数值）
1 1979 1979 1979 1979 1979 1979
2 683 683 1013 1013 1277 1277
3 647 647 317 317 53 53
4 1013 1277 683 1277 683 1013
5 1787 1259 1787 599 1259 599
6 509 773 839 1433 1367 1697
7 317 53 647 53 647 317
8 839 1367 509 1697 773 1433
9 2153 1889 2153 1559 1889 1559
10 1277 1013 1277 683 1013 683
11 1259 1787 599 1787 599 1259
12 773 509 1433 839 1697 1367
13 599 599 1259 1259 1787 1787
14 1103 1103 1103 1103 1103 1103
15 1607 1607 947 947 419 419
16 1433 1697 773 1367 509 839
17 947 419 1607 419 1607 947
18 929 1193 929 1523 1193 1523
19 53 317 53 647 317 647
20 1367 839 1697 509 1433 773
21 1889 2153 1559 2153 1559 1889
22 1697 1433 1367 773 839 509
23 419 947 419 1607 947 1607
24 1193 929 1523 929 1523 1193
25 1559 1559 1889 1889 2153 2153
26 1523 1523 1193 1193 929 929
27 227 227 227 227 227 227

以1889领头的6素数组（经适当排序为以317领头的6素数组的倒序数值）
1 1889 1889 1889 1889 1889 1889
2 773 773 1193 1193 1367 1367
3 647 647 227 227 53 53
4 1193 1367 773 1367 773 1193
5 1607 1259 1607 419 1259 419
6 509 683 929 1523 1277 1697
7 227 53 647 53 647 227
8 929 1277 509 1697 683 1523
9 2153 1979 2153 1559 1979 1559
10 1367 1193 1367 773 1193 773
11 1259 1607 419 1607 419 1259
12 683 509 1523 929 1697 1277
13 419 419 1259 1259 1607 1607
14 1103 1103 1103 1103 1103 1103
15 1787 1787 947 947 599 599
16 1523 1697 683 1277 509 929
17 947 599 1787 599 1787 947
18 839 1013 839 1433 1013 1433
19 53 227 53 647 227 647
20 1277 929 1697 509 1523 683
21 1979 2153 1559 2153 1559 1979
22 1697 1523 1277 683 929 509
23 599 947 599 1787 947 1787
24 1013 839 1433 839 1433 1013
25 1559 1559 1979 1979 2153 2153
26 1433 1433 1013 1013 839 839
27 317 317 317 317 317 317

以1559领头的6素数组（经适当排序为以647领头的6素数组的倒序数值）
1 1559 1559 1559 1559 1559 1559
2 1433 1433 1523 1523 1697 1697
3 317 317 227 227 53 53
4 1523 1697 1433 1697 1433 1523
5 947 599 947 419 599 419
6 839 1013 929 1193 1277 1367
7 227 53 317 53 317 227
8 929 1277 839 1367 1013 1193
9 2153 1979 2153 1889 1979 1889
10 1697 1523 1697 1433 1523 1433
11 599 947 419 947 419 599
12 1013 839 1193 929 1367 1277
13 419 419 599 599 947 947
14 1103 1103 1103 1103 1103 1103
15 1787 1787 1607 1607 1259 1259
16 1193 1367 1013 1277 839 929
17 1607 1259 1787 1259 1787 1607
18 509 683 509 773 683 773
19 53 227 53 317 227 317
20 1277 929 1367 839 1193 1013
21 1979 2153 1889 2153 1889 1979
22 1367 1193 1277 1013 929 839
23 1259 1607 1259 1787 1607 1787
24 683 509 773 509 773 683
25 1889 1889 1979 1979 2153 2153
26 773 773 683 683 509 509
27 647 647 647 647 647 647

yangchuanju · 发表于 2021-8-23 09:28

用第一款3阶素数幻立方所选用的14对互补素数中的一部分再配上其它互补素数对能否编制成第二、第三个3阶素数幻立方？
用其余互补素数对能否编制出一个或多个3阶素数幻立方？……仍待研究！

yangchuanju · 发表于 2021-8-23 09:33

3阶幻立方的通解模板
钟明
a b 3e-a-b 3e
c d 3e-c-d 3e
3e-a-c 3e-b-d a+b+c+d-3e 3e

3e 3e 3e

b+c+d-2e 4e-2b-d b-c+e 3e
4e-2c-d e 2c-2e+d 3e
c-b+e 2b-2e+d 4e-b-c-d 3e

3e 3e 3e

5e-a-b-c-d b+d-e a+c-e 3e
c+d-e 2e-d 2e-c 3e
a+b-e 2e-b 2e-a 3e
3e 3e
3e 3e 3e 3e 3e
3e 3e 3e
3e 3e 3e
3e 3e 3e

yangchuanju · 发表于 2021-8-23 09:37

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-8-23 09:39 编辑

3阶幻立方只存在4个阶
John R. Hendricks1972年证明
第一款第二款
18 22 2 12 23 7
20 9 13 22 9 11
4 11 27 8 10 24

23 3 16 26 1 15
7 14 21 3 14 25
12 25 5 13 27 2

1 17 24 4 18 20
15 19 8 17 19 6
26 6 10 21 5 16

第三款第四款
16 23 3 10 24 8
20 9 13 23 7 12
6 10 26 9 11 22

24 1 17 26 1 15
7 14 21 3 14 25
11 27 4 13 27 2

2 18 22 6 17 19
15 19 8 16 21 5
25 5 12 20 4 18

4种基本类型的3阶幻立方，每种各有6个变态，不就是24吗？
24种变态又各有一个影子——中心对称变体，一下子成为48种变体了！

yangchuanju · 发表于 2021-8-23 15:50

3阶幻立方可用类似于5阶、7阶等奇数阶空间对称幻立方的一般化法编制，
若用27个等差整数则编制方法相对简单（1个首素数加1个公差d的2参数问题）；
若用3组各9个等差整数，且3大组之间的间距也相等，（可变换成1个首素数加2个公差d，e的3参数问题），其编制方法稍难一点；
若用3组各3*3个等差整数，且3大组之间、3小组之间的间距也相等，（可变换成1个首素数加3个公差d，e，f的4参数问题），其编制方法更难一点。
素数存在错综复杂，要找到符合上述条件的素数组非常困难，钟明等人给出的a,b,c,d,e五参数幻立方模板，a,b,c,d如何确定是个十分棘手的问题，

前面的推导和论述是在钟明等人给出一个成品幻方的基础上进行的；
如果我们根本不知道是否存在幻和等于3309的3阶素数幻立方，哪我们怎么办？
（经过前人的多年研究，现已确定全由素数构成的3阶幻立方，最小幻和是是3309，并给出一个实例。）

（一）找出3309/3*2=2206以内的全部素数，从中找出和等于2206的全部素数对共35对（包括1103+1103=2206在内）；
（二）从69个素数中任选3个，计算3素数和，从中挑选出和等于3309的全部幻和数组（132+13=145组）；
（三）从中挑选出至少31组幻和数组，其中包括含有1103的幻和数组至少13组，用它们编制一个3阶幻立方。
如何挑选出有效的幻和数组，挑选出这些有效的幻和数组后又如何编制都是大难题。
好在，1977年已经有人找到了这个幻和等于3309的3阶幻立方；他们付出多少心血无人知晓。

我不想再去作先人们做过的工作，只是在他们的劳动成果上找一找还有没有幻和等于3309的3阶幻立方。
套用3阶幻立方模板，只要找出另外的a,b,c,d四个素数即可。
从68素数中任选4数的排列数是68*67*66*65=1954 5240（接近2000万）；
检验将近2000万数值中有多少使得27数字和（包括5个已经确定的数字）中有31（或37）个幻和3309；
再筛选出全由素数构成的数字和等于3309的数组；
还要继续检查那些全由素数构成的数字和等于3309的数组中是否含有相同的素数，若用则删除掉；
至此再看一看剩余的若干组素数组中是否是已知幻立方的（48组，值查看其中的a,b,c,d四数即可）。
若还有48组（或48k组），则可用它们再编制1套（或k套）3阶幻和等于3309的幻立方。
因我们是按幻立方模板求得的数组a,b,c,d，只要将新找到的数组套入公式即可编制出新的3阶幻立方。

yangchuanju · 发表于 2021-8-24 14:57

yangchuanju 发表于 2021-8-23 09:28
用第一款3阶素数幻立方所选用的14对互补素数中的一部分再配上其它互补素数对能否编制成第二、第三个3阶素数 ...

网载，3309是各种3阶素数幻立方的最小幻和，以3309为幻和的3阶幻立方的中心素数是1103，
两两素数相加和等于2206的共35对（含1103+1103），第一枚幻和最小的3阶素数幻立方选用了其中的14对素数对。

用第一枚3阶素数幻立方所选用的14对互补素数（包括1103+1103）能否编制成第二、第三个3阶素数幻立方？
用第一枚3阶素数幻立方所选用的14对互补素数中的一部分再配上其它互补素数对能否编制成第二、第三个3阶素数幻立方？
用其余互补素数对能否编制出一个或多个3阶素数幻立方？……

对于这些问题，笔者进行了大量的计算，成功解决了第一个问题，
用第一枚3阶素数幻立方所选用的14对互补素数（包括1103+1103）共编制成6个3阶素数幻立方，加上各种变形体共得48个3阶素数幻立方。

对第二、第三个问题放在一起一并计算。
35个互补素数对涉及69个素数，除去中心素数1103外，还有68素数可放置在幻立方体的外围。
如果68素数是等同的，假定它们都能充当3阶素数幻立方模板中的a,b,c,d，
则68*67*66*65=1954 5240，约2000万种排列数。
在68个素数中，任取3数计算3素数和，共得132个3数和等于3309的幻和数组；
这132个幻和数组都不通过立方体中心点。
已知幻立方不通过立方体中心点的26数字各自需用的幻和数组数是：
顶点最小是3，棱中点最小是3，面芯最小是2。
在132个幻和数组中，没有含素数3和2203的，据此应去掉3,2003；还剩66个素数。
66素数任取4数的排列数减少到66*65*64*63=1729 7280（约1730万）。
又涉及107,359,569,1637,1847,2099六素数的幻和数组都是2，最多可在面芯上（d）。
据此可充当模板中的a值的素数最多是60个。

从66素数中任取2数充当b,c的排列数是60*59=3540，再配上另可充当d的另64素数，
总排列数等于3540*64=226560个，分成6列每列37760个数，为EXCEL可接受的数字。
3基数总数226560个，再分别配上60个基数中的1个，即可令它们作为a,b,c,d，
计算其中有多少等于31的；再从中剔除合数，剔除相同素数，最后与已知系统进行比对。
用53作p1，因53是已知体系的一个顶点素数，可能还是那6个，若不然设置有错；
若还有其它的，那就是我们所期望的；用137作p1，可能一无所获；……

实际计算中，在3基数上加上p1=35，计算等于31的总个数，后剔除含相同整数的，剩余尚含合数的27数组13642组；
用分解软件分解后，仅得6组全是素数的；经与已经求得的6组a,b,c,d数组比对就是那6组。
可以断定，用另外的59素数作p1，也会是要么没有能构成幻立方数值，要么还是原有的那些。

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