ΔABC 中，E 是 AC 中点，BC=1，∠A=100°，∠B=60°，∠CED=80°，求 SΔABC+2SΔCDE

ywantonio

记 S_XYZ=三角形XYZ的面积，如图在三角形ABC中，E是AC的中点，D是BC边上的一点。

若 BC = 1，∠BAC=100°，∠CED=80°，求 S_ABC+2S_CDE

小fisher

等于半个边长为1的正三角形的面积\(\frac{\sqrt{3}}{8}\)

lihp2020

如图

1 求出那个∠edc =80 得到是个等腰三角形
延长ab 补角 是是80  做一个相似三角形 acf相似与  dec 相似比1:2 面积比就是1:4
acf 做个高  等腰三角  高 把 安措费 分成两个一样的直角三角形 2S_CDE =2S_ACG

FGNBGHJUOI

这题解法很妙，各位大师太6了

波斯猫猫

题：ΔABC 中，E 是 AC 中点，BC=1，∠A=100°，∠B=60°，∠CED=80°，求 SΔABC+2SΔCDE。

思路：设AE=a，则EC=a。易知CD=a。易得 SΔABC=asin20°，2SΔCDE=a＾2sin20°，

即SΔABC+2SΔCDE=a＾2sin20°+asin20°=a（a+1）sin20°。

在ΔABC中，由正弦定理有1/sin100°=2a/sin60°，即a=√3/（4cos10°），将其代入上式，

SΔABC+2SΔCDE=√3/（4cos10°）[√3/（4cos10°）+1]sin20°=√3（√3+4cos10°）sin10°/(8cos10°)

=√3/8。

ywantonio

波斯猫猫 发表于 2021-8-26 18:59
题：ΔABC 中，E 是 AC 中点，BC=1，∠A=100°，∠B=60°，∠CED=80°，求 SΔABC+2SΔCDE。

思路：设AE ...

太感謝了!,


不过我还不知道如何把 (sqrt(3) + 4cos10)*sin10/cos10 化成 1

ywantonio

lihp2020 发表于 2021-8-26 16:03
如图

1 求出那个∠edc =80 得到是个等腰三角形

解到了, 谢谢!

波斯猫猫

（√3+4cos10°）sin10°=√3sin10°+4sin10°cos10°=√3sin10°+2sin20°

=√3sin10°+2sin（30°-10°）=√3sin10°+2sin30°cos10°-2cos30°sin10°

=√3sin10°+cos10°-√3sin10°=cos10°

波斯猫猫

题：ΔABC 中，E 是 AC 中点，BC=1，∠A=100°，∠B=60°，∠CED=80°，求 SΔABC+2SΔCDE。

思路：有更简单的纯平面几何法。在边长为1的等边Δ SΔBCF中，使CA是∠C的三等分线，作CH⊥BF于H、

EM⊥BF于H。易证 SΔCDE=2 SΔAEH， SΔACH=4SΔAEH，从而2SΔCDE= SΔACH。

故 SΔABC+2SΔCDE= SΔBCF/2=√3/8。

小fisher

作CF⊥BA于F，CH⊥DE于H，EG⊥CF于G
可求出∠DCE=20°，∠CDE=80°，
∠GCE=∠HCE=10°
△EGC≌△EHC
SΔAFC=4SΔEGC
SΔCDE=2SΔEHC
SΔABC+2SΔCDE=SΔABC+SΔAFC=SΔAFC