两个未知数怎么求出三个值？

wufaxian

请看上题第二张图红色字体。只有x1，x2两个未知数，怎么能确定x向量第三个值x3？
还有一个疑惑根据(A-λE)x=0 求出特征向量x，假如有两个解x1 x2，我也明白λx1,λx2也是特征向量。但是为什么k x1+k x2也是特征向量。相加得到的向量于x1 x2都不共线！为什么也是特征向量？
ax^2+bx+c=0，求出两个解 x1 x2，你总不能说x1+x2也是方程的解啊！

hannah8201

x1=-2x2
x2=x2
x3=         x3

2个自由变量   系数分别是 (-2,1,0)    (0,0,1)

wufaxian

hannah8201 发表于 2021-8-29 19:21
x1=-2x2
x2=x2
x3=         x3

谢谢回复。请问
x1=-2x2 为什么成立？没太看懂

luyuanhong

这个齐次线性方程组： 3x1+6x2=0 ，3x1+6x2=0 ，3x1+6x2=0 ，

其实还是三个未知量 x1,x2,x3 的方程组。

只不过在方程三个式子中，x3 的系数恰好都是 0 ，所以好像看不到 x3 了。

因为是三个未知量 x1,x2,x3 的方程组，所以方程组的解就要给出 x1,x2,x3 的值。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-8-29 19:32
这个齐次线性方程组： 3x1+6x2=0 ，3x1+6x2=0 ，3x1+6x2=0 ，

其实还是三个未知量 x1,x2,x3 的方程组。
...

谢谢lu老师回复。x3的系数是0，对于齐次方程来说x3可以是任意值。为什么会得出两个确定值呢？

而且这两个向量的线性组合怎么代入方程还能使方程成立呢？kx1是特征向量 k倍x2是特征向量。Kx1+kx2 怎么还能是特征向量呢？有点反直觉。