向量y点乘矩阵A的每一列=向量y点乘吧，则Ax=b一定有解？

wufaxian

请看上图蓝线部分，注意他是用一个向量y（不是题干中的向量x）点乘矩阵A的各列。然后用y点乘b。通过计算结果推导出Ax=b变成0=1。用一个题目中不包含的向量y点乘矩阵各列，结果与y点乘b不相等，如何推导出Ax=b 转化成0=1。这中间的逻辑链是什么？

liangchuxu

逻辑关系：

wufaxian

liangchuxu 发表于 2021-9-1 10:54
逻辑关系：

谢谢回复：
程式1+程式2-程式3=0 等价于：用向量y(1,1,-1)点成各列=0；

这两个下划线内容分开看都是事实。但是用前一个下划线推导出第二个下划线的逻辑我们理解。望指教。

liangchuxu

wufaxian 发表于 2021-9-1 11:42
谢谢回复：
程式1+程式2-程式3=0 等价于：用向量y(1,1,-1)点成各列=0；

举例：(1,1,-1)\(\bullet\)(1.1.2)=0；

wufaxian

liangchuxu 发表于 2021-9-1 12:05
举例：(1,1,-1)\(\bullet\)(1.1.2)=0；

谢谢回复，我的困惑在于为什么

程式1+程式2-程式3=0 这个结论     能够推导出（等价于）：    用向量y(1,1,-1)点成各列=0；

向量y(1,1,-1)乘以各列，确实等于0。

liangchuxu

wufaxian 发表于 2021-9-1 15:30
谢谢回复，我的困惑在于为什么

程式1+程式2-程式3=0 这个结论     能够推导出（等价于）：    用向量y ...

各个程式的系数，就是各个列向量分量。举例：\(\alpha\)=(a1,b1,c1），\(\beta\)={a2,b2,c2）
\(\xi\)\={a3,b3,c3)，(\gamma\)=(1,1,-1)，如果程式1+程式2-程式3相当于：1\(\alpha\)+1\(\beta\)-\(\xi\)\，那么，等价于列向量A1=（a1,a2,a3)，A2=（b1,b2,b3)，A3=（c1,c2,c3)，：
(\gamma\)\(\bullet\)A1，(\gamma\)\(\bullet\)A2，(\gamma\)\(\bullet\)A3，

liangchuxu

liangchuxu 发表于 2021-9-1 16:32
各个程式的系数，就是各个列向量分量。举例：\(\alpha\)=(a1,b1,c1），\(\beta\)={a2,b2,c2）
\(\xi\)\= ...

用了平台编辑器有乱码。作如下解释：

wufaxian

liangchuxu 发表于 2021-9-2 03:18
用了平台编辑器有乱码。作如下解释：

首先感谢liang老师的多次耐心讲解。你的回复给我很大启发。我顺着你的启发继续思考了一下。在此写下来，如果哪里错了，还望你指正。

1、如果Ax=b，那么说明b是一个向量，这个向量b是：原空间“张三”中的向量x经过矩阵A的“作用”变换到由矩阵A的三个列向量张成的新空间“李四”当中的 一个“向量”。 如果等式成立，那么Ax 和b 代表同一个向量，这个向量b在“张三”空间的坐标是（4,5,8）,在"李四"空间的坐标是（x,y,z）

2、为什么天降向量\(\xi\)(1,1,-1) 作为检验向量？思路如下：如果Ax=b 证明Ax和b是同一个向量。因此他们点乘\(\xi\)后应该有同样的结果，因此有\(\xi\)点乘Ax=\(\xi\)点乘b。  但为什么选择（1,1,-1)这个向量值呢？因为容易看出左侧的矩阵A 第三行正好是前两行系数对应列的累加。所以应该有\(\xi\)点乘A=0 这样就不用再算x了。因为0x=0   
     但是\(\xi\)点乘b却等于1，因此证明Ax \(\ne\)b ，因此x无解！
      
     由第2项的讨论可知，一、向量点乘矩阵 其实和向量乘以矩阵等价。\(\xi\)点乘A，就是用\(\xi\)的各个分量分别点乘A的各行对应分量，向量\(\xi\)点乘A的结果还是一个“向量”
                                      二、即便\(\xi\)不取(1,1,-1) ，而是随便取其他向量值。那么只要Ax=b   那么A点乘\(\xi\)得到的向量再点乘x得到的结果必然等于    \(\xi\)点乘b的结果

3、今天我一直在想截图中的一个思路为什么成立？ 即为什么方程有解，也就是Ax=b，必然会有方程式1+方程式2-方程式3=4+5-8 ？
      你需要将“程式1+方程式2-方程式3 ”想成 矩阵A点乘 向量（1,1,-1）即可。而4+5-8，看作向量b点乘（1,1,-1）即可。


     

liangchuxu

wufaxian 发表于 2021-9-2 22:30
首先感谢liang老师的多次耐心讲解。你的回复给我很大启发。我顺着你的启发继续思考了一下。在此写下来 ...

情况大致如此。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2021-9-3 04:25
情况大致如此。

liang老师，关于后半段如果\(\xi\)\(\ne\)(1,1,-1),需判断\(\beta\)x=b是否有解？其中\(\beta\)=\(\xi\)A。


上面这句没太看懂。既然出发点是Ax=b ，那么如果\(\beta\)=\(\xi\)A，等式两边同时乘以\(\xi\)  ，必有\(\xi\)Ax =\(\xi\)b ，也就是Ax=b，转变成\(\xi\)Ax=\(\xi\)b是否有解。怎么会转变成\(\xi\)Ax=b是否有解？