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一个正整数和数论相关的问题

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发表于 2021-9-1 22:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
已知定义在正整数集上的函数\(f(n)=2n+1,g(n)=4n\).对于集合\(S\),\(S\)中的元素均为正整数,且均可由函数\(f(n),g(n)\)按一定顺序排列成用\(f(1)\)或\(g(1)\)表示的形式.如:\[gfg(1)=gf(4)=g(9)=36\]
\[ffgg(1)=ffg(4)=ff(16)=f(33)=67\]
故\(36∈S,67∈S.\)
(1)求证:\(200\notin S\)
(2)求证:对于集合\(S\)中的元素\(n\),有且仅有一种用函数\(f,g\)排列表示\(n\)的方式(例如:\(67\)只能通过以先\(g\)作用,再\(g\)作用,再\(f\)作用,再\(f\)作用的排列形式来表示)
(3)(i)记\(u_k\)为集合\(S\)中满足\(2^k\le n<2^{k+1}\)的元素\(n\)的个数,证明:\(u_{k+2}=u_{k+1}+u_,k\
≥0\)
(ii)记\(s_k\)为集合\(s\)中满足\(1\le n<2^{k+1}\)的元素\(n\)的个数,证明:\(s_{k+2}=s_{k+1}+s_k+1,k≥0\)



各位请教一下这个问题如何解决,原题是英文的碍于本人翻译水平极度有限,附上原文,若有不对的请各位指出,希望大家相助。

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发表于 2021-9-1 22:18 | 显示全部楼层
第(2)题的官方答案(英文)

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发表于 2021-9-2 00:51 | 显示全部楼层
所有问题一起分析 非结果
看题    很多2^n 且元英文中包含很多2进制数 这个数 可能二进制数 有什么特性
且最后一问  能观察点 有点像 斐波拉契数列


第一个问 200 不属于 S 应该 200=(11001000)  表示除 这个10序列不满足某种特性
某种特性分析
  f(n) =2n+1  用二进制表示 就是 一个序列后面追加1个1
g(n) =4n   用二进制表示 就是 一个序列后面追加l连续2个0
两个一起分析 就是 不可能存在连续奇数个0

11001000 连续3个0  就应该不满足

有点像斐波拉契数列  想想 斐波拉契数列 就是 10序列 不能有连续两个0  这个是连续奇数个0  猜测都有一点关系

求这个序列数 以前贴 有个http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2047355  这个14 楼 给了一个很大得思路 可能能求出 3-2  再推3-1 可能就简单了 原题可能是3-1 证明了利用3-1 推3-2  
但是我才 有可能这个思路 直接推3-1 也很好推出来
而还有问题2  我觉得 利用语言组织能力就能出来
如果是n是偶数 一定是g(xx)=n  n是奇数 一定是f(xx)=n  且唯一确定 如果两个都不是  那么 n就不属于S  (这可能会用到问题1 得到得一些结论)  xx<n  递推下去  慢慢xx =1 每一步都是唯一确定 证明有且仅有一种  (但是这个 可能要数学语言来终结了)
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