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由 (√2)^(√2)^(√2).... = ?引起的问题

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发表于 2021-9-2 15:17 | 显示全部楼层 |阅读模式
看到不少关于:

那么

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发表于 2021-9-2 15:34 | 显示全部楼层
记函数
\[y(x)=x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}\]
当且仅当 \(e^{-e} \leq x \leq e^{1/e}\) 时,函数 \(y(x)\) 收敛。所以 \(y(\sqrt{3})\) 不收敛,但 \(y(\sqrt{2})\) 收敛。以下证明 \(y(\sqrt{2})=2\)
\begin{alignat*}{3}
& & y&=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}& \\
&\implies& y&=(\sqrt{2})^y& \\
&\implies& y^{1/y}&=\sqrt{2}=2^{1/2}& \\
&\implies& y&=2& \\
\end{alignat*}
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发表于 2021-9-2 17:06 | 显示全部楼层
咋推出来是发散的。供大家讨论交流。

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发表于 2021-9-2 20:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-9-3 12:25 编辑

题:(√2)^[(√2)]^(√2).......=?

观察方程x^2=2^x,得x=2或x=4。

草率了,草率了!错误难免,但要尽可能避免!提醒有益,谢谢交流!

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发表于 2021-9-2 23:39 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2021-9-2 20:43
题:(√2)^[(√2)]^(√2).......=?

思路:令x=(√2)^[(√2)]^(√2).......,则x=√2^x,即x ...

1、需要证明收敛域,才能使用那个极限方程等式。
2、x^2<=2^x,这个是错误的。不知道你是引用什么定理呢?
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发表于 2021-9-2 23:41 | 显示全部楼层
杨协成 发表于 2021-9-2 15:34
记函数
\[y(x)=x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}\]
当且仅当 \(e^{-e} \leq x \leq e^{1/e}\) 时,函数 \(y ...

1、需要证明收敛域
2、那个极限方程,虽然y=2是它的一个解,你需要说明这是唯一解或者是唯一合理的解。凑是不严谨的。
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发表于 2021-9-3 08:28 | 显示全部楼层
对7楼的回复。希望你不要介意我指出你的错误。这是尊重你,说明我是认真看了你的回复,并且是认真答复你的。
讨论论坛本来就应该是这样的。

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 楼主| 发表于 2021-9-3 09:20 | 显示全部楼层
谢谢大家的讨论,我也是听马丁老师讲的。他的严格的证明。我只是用图来说明一下。

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发表于 2021-9-3 09:58 | 显示全部楼层
杨协成 发表于 2021-9-2 15:34
记函数
\[y(x)=x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}\]
当且仅当 \(e^{-e} \leq x \leq e^{1/e}\) 时,函数 \(y ...

y=4也是一个解。
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发表于 2021-9-3 18:53 | 显示全部楼层
我尝试证明一下这种无穷级数在x>1时的收敛区间,以及x=根号2时的极限值,供交流讨论

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