由 (√2)^(√2)^(√2).... = ？引起的问题

xfhaoym

看到不少关于:

那么

杨协成

记函数
\[y(x)=x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}\]
当且仅当 \(e^{-e} \leq x \leq e^{1/e}\) 时，函数 \(y(x)\) 收敛。所以 \(y(\sqrt{3})\) 不收敛，但 \(y(\sqrt{2})\) 收敛。以下证明 \(y(\sqrt{2})=2\)
\begin{alignat*}{3}
& & y&=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}& \\
&\implies& y&=(\sqrt{2})^y& \\
&\implies& y^{1/y}&=\sqrt{2}=2^{1/2}& \\
&\implies& y&=2& \\
\end{alignat*}

liangchuxu

咋推出来是发散的。供大家讨论交流。

波斯猫猫

题：（√2）^[（√2）]^（√2）.......=?

观察方程x^2=2^x，得x=2或x=4。

草率了，草率了！错误难免，但要尽可能避免！提醒有益，谢谢交流！

cgl_74

波斯猫猫 发表于 2021-9-2 20:43
题：（√2）^[（√2）]^（√2）.......=?

思路：令x=（√2）^[（√2）]^（√2）.......，则x=√2^x，即x ...

1、需要证明收敛域，才能使用那个极限方程等式。
2、x^2<=2^x，这个是错误的。不知道你是引用什么定理呢？

cgl_74

杨协成 发表于 2021-9-2 15:34
记函数
\[y(x)=x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}\]
当且仅当 \(e^{-e} \leq x \leq e^{1/e}\) 时，函数 \(y ...

1、需要证明收敛域
2、那个极限方程，虽然y=2是它的一个解，你需要说明这是唯一解或者是唯一合理的解。凑是不严谨的。

cgl_74

对7楼的回复。希望你不要介意我指出你的错误。这是尊重你，说明我是认真看了你的回复，并且是认真答复你的。
讨论论坛本来就应该是这样的。

xfhaoym

谢谢大家的讨论，我也是听马丁老师讲的。他的严格的证明。我只是用图来说明一下。

Future_maths

杨协成 发表于 2021-9-2 15:34
记函数
\[y(x)=x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}\]
当且仅当 \(e^{-e} \leq x \leq e^{1/e}\) 时，函数 \(y ...

y=4也是一个解。

cgl_74

我尝试证明一下这种无穷级数在x>1时的收敛区间，以及x=根号2时的极限值，供交流讨论