目前研究四色问题中的两种错误倾向

雷明85639720

目前研究四色问题中的两种错误倾向
雷  明
（二○二一年九月六日）

1、一种错误倾向是有人因对图论及拓朴学知识的缺乏，竟然认为有球面地图与平面地图之分。因为他们只看到地球是一个球体，认为地图只是对地球上的行政区划而言的。甚至也把“图”分为球面图与平面图两类，认为球面图是可以4—着色的，而平面图是不能4—着色的，或者说平面图是可以4—着色的，而球面图是不能4—着色的。必须要第5种颜色才能正确着色。
这种人没有看到球面与平面是可以相互转化的这一个基本事实，而认为球面与平面是两回事。其实平面也是曲面的一种，平面与球面在拓朴学中都是亏格为0的曲面。还不仅只是这些，还有抛物面，双曲面，马鞍面等也都是亏格为0的曲面，与球面和平面是都是同一种曲面。把橡皮模作的平面，抛物面，双曲面与马鞍面的边沿部分（即无限远点）粘在一起，向里面充气，得到的不就是一个球面吗？把一个球面剌破后，拉开展平后，不也就是一个平面吗？
拓朴学里的多价定向曲面，是指在一个球面或椭球面上有不同数量的孔洞穿过所形成的曲面。其中穿过孔洞的多少就是定向曲面的亏格。球面（也包括平面在内）上没有孔洞穿过，所以其亏格是0。轮胎面是有一个孔洞从球面上穿过了的，所以其亏格就是1，还有如眼镜匡面（也叫“8”字形麻花面）是有两个孔洞从球面上穿过了的，所以其亏格就是2等等。球面上有多少个孔洞穿过，该定向曲面的亏格就是多少。
研究四色问题，首先要明白四色问题的提出是由对行政区划地图的染色而引起的。而行政区划地图正好就是图论里的无割边的3—正则的平面图。这样的地图画在球面上，就是地球仪，画在平面上就是所谓的平面地图。但画在平面上时，就有一个无限面。既然是无限面，沽名思意，就是无限大的面。为了方便，所以把地图画在平面上时，都要画一个地图的图匡，并且用了不同与地图中其他线条的、加粗的黑实线表示，以把无限面压缩在一个较小的范围之内。
四色问题虽是由对地图的染色而提出，但法朗西斯最开始的提法却是：如果把平面分成若干个部分，每个部分染一种颜色，且要使有共同边界的部分不用同一颜色，大概最多四种颜色就够用了。这个若干部分，本身就含有无限面在内。
把一个地图画在地球仪上，与画在一个平面上，完全是相同的，没有什么差别。该有多少个面（区划）还是有多少个面，一个都不会少的，一个也不会多的。因为地球仪是一个封闭的地图，画在平面上的地图中的无限面在地球仪上只是一个有边界的面罢了。
人们为了研究的方便，不但把球面上的地图画到了平面上，而且又把给地图的面上的染色转化成了对地图的对偶图——极大平面图的顶点着色。由于地图本身就是图论中的无割边的3—正则平面图（并不是任意的平面图），其对偶图则是一个极大的平面图（也不是任意的平面图）。地图的对偶图中的顶点就是地图中的面，所以对地图的对偶图中的顶点着色就相当于给地图中的面的染色。这也就把一个地理学中的问题转化成了一个数学问题。
由于极大图的顶点着色的四色问题是由地图的四色问题转化而不的，所以说极大平面图的四色问题解决了，当然地图的四色问题也就解决了；又由于由极大平面图经“去顶”和“减边”而得到的任意平面图的色数只会比极大图减少而不会再增加，所以说极大平面图的四色问题解决了，任意平面图的四色问题也就解决了。
请一定要注意，地图的染色是对地图这个平面图的“面”的染色，而极大平面图的着色则是对极大图平面图的“顶点”的着色，只是在这种情况下，二者才是等价的。因此极大平面图的着色并不是指对极大图的面的染色。至于极大图的面的染色的结果是什么，我们并没有研究过。但可以这样说，它同样也是对极大平面图的对偶图——3—正则平面图的顶点着色。3—正则平面图的每一个顶点都连着3条边和3 个顶点的星形图，而单个星形图的着色两种颜色就够用了。但由若干个星形图组合而成的3—正则平面图的顶点着色，最大4种颜色也就够用了。即每个星形图的中心顶点用一种颜色，所连的3个顶点各一种颜色时，一定也是够用了的。这样就至少可以说3—正则平面图的顶点着色的色数也是不大于4的。而我们所说的地图，也即3—正则的平面图，它的面染色的色数也是不大于4的。所以说二者是同一回事，不会出现色数不同的现象的。
这部分人只所以认为球面地图是可4—着色的，而平面地图是不可4—着色的，说明了他们根本就没有实实在在的做扎实的，艰苦的，细致研究的工作。只是从四色猜测本身就是正确的观点出发，再加上认为球面地图与平面地图是两回事，而就直接得出平面地图是不可4—着色的结论的。我奉这些人还是再多学一点有关图论与拓朴学的知识，弄清以上的诸多关系后，再多做一点实际的工作。
2、另一种错误倾向是有人对构形的分类不是桉照构形中特征链的关系，而是按未形成构形前的裸图（即未部分4—着色之前的原图）的是否对称而进行的。
所谓构形，即是对部分顶点已进行了4—着色，但仍有一个顶点未着色的图。与这个未着色顶点相邻的顶点所占用的颜色数小于等于3时，该图就可顺利的进行4—着色；围栏顶点所点用的颜色数等于4时，该图的着色就得通过坎泊的颜色交换技术才能完成。能否进行颜色交换，主要是看构形中是否有特征链，有什么样的特征链。与一个图的裸图是否对称是没有关系的。
对于发生了颜色冲突的5—轮构形来说，只要图中不含有A—C和A—D双环交叉链，就是可约的K—构形；即就是含有双环交叉链，还要看是否可以连续的移去两个同色B。若能，则仍是可约的K—构形；若不能，才是需要进行交换的H—构形。
H—构形是从围栏顶点中空不出任何顶点的构形。应该说就要看构形中有没有特征链，有什么样的特征链，把特征链相同的构形划归为一类。因为他们的特征链相同，解决的办法也就是相同的。但有人却不是这样，而是硬要以裸图的是否对称来划分，这是不合适的。
H—构形的特征除了双环交叉链和不能连续的移去两个同色B外，还有含有与不含有经过了围栏顶点的环形链之分。含有环形链的构形，用断链交换法（即进行该交换后，双环交叉链就断开了。这种交换也就是Z—换色程序）解决，而不含有环形链的构形，用转型交换法（即进行了该交换后，构形的类型就发生了变化。这种交换也就是H—换色程序）解决。都是可以解决问题的。
而有人却硬要把H—构形按埃雷拉E—图一个图的特征——所谓的十折对称来进行分类，分为十折对称的E—族构形和非十折对称的15种Z—构形，而实际情况是，他这样得出的非十折对称的Z—构形并没有包括所有的非十折对移的构形。因为他的15种非十折对称的Z—构形只是从一个E—图中，改变了某些四色顶点四边形的对角线后所得到的构形，而并非是任意得到的。
他这样的分类，仓仍认为E—族构形中的必须的特征链是含有经过了围栏顶点的环形的A—B链或C—D链，但在他的15种Z—构形中，仍然还存在有含有经过了围栏顶点的环形链的构形，也都可以用Z—换色程序进行解决。而在他的15种Z—构形以外却存在着大量的非十折对称的构形，却没有归入到那一类里去。因为这些构形，不是从对改变E—图的四色四边形的对角线而得到的。同样的，这些构形中既有含有经过了围栏顶点的环形链的构形，也含有不含经过了围栏顶点的环形链的构形。仅管这些构形都是可以用Z—换色程序和H—换色程序解决问题的，但在他这种分类法中却没有提到这一部分构形属于那一类的问题，也没有说到对这些构形该如何处理的问题。这不是也就出现了漏洞了吗？
所以我劝存在这种错误倾向的人，要赶快的纠正过来。

雷  明
二○二一年九月六日于长安

雷明85639720

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