极大平面图的面着色数

雷明85639720

极大平面图的面着色数
雷  明
（二○二一年九月七日）

极大平面图的面着色数的问题，也要象解决地图的面着色数问题那样，把极大平面图再转化成它的对偶图，求其对偶图的顶点着色数。极大平面图的对偶图仍是无割边的3—正则平面图，所以无割边的3—正则图的顶点着色数就是极大平面图的面着色数。
3—正则平面图的每一个顶点都是处在一个3—星的星形图的中心位置的，每一个顶点均连接着3—个顶点，同时这3个顶点分别又是另外的3—星的中心顶点。单个星形图的色数一定是2，如果我们把一个顶点先看作一个星形图的中心顶点，着1色，那么与其相邻的3个互不相邻的顶点可分别都可着2色。对与这一个单个星形图来说，2种颜色就够用了。但由若干个星形图组合成的3—正则平面图，2种颜色可能是不够用的。

如在图1和图2中，星形图的中心顶点都用1色。在3—正则的平面图中，一个星形图的任何一个点到另外的两个星点间总是有多条道路可以相通的，每一条道路加上星形图的中心顶点，就是一个圈。该圈若是偶圈时，两种颜色就够了（如图1的右圈），若是奇圈时，3种颜色也就够用了（如图1的左圈）；图2的两个圈都是奇圈，3种颜色也就够用了。所以说在任何情况下，3—正则平面图的顶点着色数都是不会大于3的。
这一结论与3—正则平面图的边着色数是相同的，都是3。而这也是一个必然的结果。因为3—正则平面图的每一个顶点只连接着3条边和3个顶点，且每一个顶点既是以自已为中心的星形图的中心顶点，又是别的星形图的星点顶点。
仅管如此，但这一结论我认为还不完全，因为有一个特例，就是K4极大图。该K4图是一个自对偶图，对偶图仍是K4极大图，所以说K4极大图的面着色数与顶着色数是相同的，都是4。
K4图虽然也是3—正则的平面图，但它的每个顶点却不是一个3—星的中心顶点，而是一个3—轮的中心顶点。3—轮是一个奇轮，所以其顶点的着色数一定是4。但这样的3—正则平面图也只有这一个，其他的3—正则平面图的顶点着色数都是3。仅管只有这一个K4图是这样的，所以也只能说任何极大平面图的面着色数与其顶着色数都是小于等于4的才更科学一些。

雷  明
二○二一年九月七日于长安

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