“万物皆数”的神秘教主——毕达哥拉斯

luyuanhong

“万物皆数”的神秘教主——毕达哥拉斯

作者 | 包彦禹
来源 | 包彦禹老师（ID：baoyanyu003），好玩的数学转载。

影响人类文明几千年的“毕达哥拉斯学派”，到底是一个怎样的组织？请看：

1  从“证明几何学”鼻祖泰勒斯说起

提及“毕达哥拉斯”，我们有必要追溯古希腊文明，了解泰勒斯。据传说，证明几何学是米利都的泰勒斯开创的，毕达哥拉斯曾想拜他为师。



他是古希腊七贤之一，生活在公元前6世纪前半期，曾经用一根木棒测出胡夫金字塔的高度，轰动了古埃及。



几何学中，下列基本成果也归功于他：

①圆被任一直径二等分；
②等腰三角形的两底角相等；
③两条直线相交，对顶角相等；
④两角和一边对应相等的两个三角形全等；
⑤内接于半圆的角必为直角。

泰勒斯的这些成果不仅在定理本身，更难能可贵的是——他提供了它们的某种逻辑推理。例如“两条直线相交，对顶角相等”：



∠1=∠2曾作为十分明显的事实被考虑过，如果谁对这个结论表示怀疑，他们可以把一个角裁下来，叠置于另一个角上，让他信服。泰勒斯则采用逻辑推理的方法：因为∠1+∠3是一个平角，∠2+∠3也是一个平角；所以∠1=∠2；靠的是从更基本的关于平角的原理，开始演绎推理得出结论。那么，“为什么所有平角都相等？”“什么是平角？” ……人们不断的质疑，作为源头的最基本原理又是哪些呢？

从泰勒斯作出努力开始，古希腊人不断的“刨根问底”。并从此出发，开始构建一个完整的几何体系，这成为了古希腊数学家们孜孜以求的工作。他们不再满足于“知其然”，而是要“知其所以然”。一个关于定义、公理、定理和证明的故事渐次展开！



热衷于探讨事物的本源，俨然成为了古希腊人的一种生活方式。泰勒斯认为“万物的本源是水”；阿那克西曼德则认为“万物的本源不是具有固定性质的东西”；“人是由海鱼演化而来”；……

luyuanhong

2  游学20年的“苦行僧”——毕达哥拉斯

让哲学成为生活方式！这是古希腊文明的独树之处，与它独特的地理和人文特征密不可分。古希腊地处地中海东部，山脉和海洋把人们分散在遥远的海岸上，各个城邦始终处于割据状态；



当时的社会结构也相对简单，人与人之间比较平等，战争时他们会归于一个国王领导，而国王不过是某个贵族家庭的首领。



这使得古希腊鲜有强权，在这种民主和唯理的氛围下，公元前572年左右，爱琴海上一座叫萨摩斯（Samoa）的小岛，毕达哥拉斯出生于此。



岛上盛行一种没有严格教条的奥尔菲教，有共同话题的人们经常会聚在一起，探讨着他们的信仰。



孩提时的毕达哥拉斯就是在这种氛围下长大的，成年后，他离开了萨摩斯岛，来到米利都城求学。据说，他想追随于泰勒斯的门下，泰勒斯以年事已高为由婉拒了他，让他去找另一位哲人阿那克西曼德（归谬法的创造者），同样不受待见。



慢慢的，他发现自己融入不了米利都，这与他超然于世的冥想有关。



（毕达哥拉斯认为人分三等：最低层是做买卖的，其次是参加竞技比赛的，最高层是旁观者，也就是学者或哲学家。）于是他离开了米利都，前往埃及求学，在那里生活了近10年，学习埃及的数学、宗教、天文……



学成之后，毕达哥拉斯踏上了回乡的归程，不幸路上被入侵的波斯人掳去古巴比伦。因祸得福的是，不仅几何，精通算术的古巴比伦人对代数（文字叙述的代数学）也颇有研究，毕达哥拉斯在此又学习了5年，接触了许多更为先进的数学。



期间，传说他到过古印度，了解古印度的数学文化。加上路上游历花费的四五年，毕达哥拉斯外出游学近达20年之久，此番艰险堪比取经18年、经历九九八十一难的唐玄奘。一个集古希腊、古埃及、古巴比伦甚至古印度文化的大成者，终于回到故乡萨摩斯。



而此时，波斯人暴政下的萨摩斯已经无法容纳思想如此先进的毕达哥拉斯，于是他不得不再度漂洋过海，来到意大利的克罗内托。在那里，他传经布道，广收弟子，从而建立了影响世界数千年的“毕达哥拉斯学派”。

luyuanhong

3  数乃神的语言——毕达哥拉斯学派

在游历过程中，毕达哥拉斯接触过各地的神秘组织，他所创建的“毕达哥拉斯学派”也是一个类似宗教的秘密团体，正五角星是他们的徽标。



学派研究涉及哲学、学术、宗教等各个领域。“哲学（philosophy）”和“数学（mathematics）”这两个词可能是毕达哥拉斯创造的。



“哲学”希腊语为Φιλοσοφια，意指“爱，智慧”；“数学”希腊语μθημα，意指“可以学到的知识”。尤其数学，学派把属于会计师和调查员们的应用技术，转化成了一门纯粹的科学，毕达哥拉斯使数学变成一门高尚的艺术！学派在数学上的成就主要包括以下几个方面：

1. 证明了“毕达哥拉斯定理”

也就是勾股定理（公元前11世纪，商高见周公时提及“勾三股四弦五”，故我们称之为“勾股定理”，它是人类第一次将数与形结合在一起的重大发现）。



据说一次教派晚宴，主角毕达哥拉斯趁着大家觥筹交错之际，溜到一旁，盯着墙角的方形拼砖，灵感迸发，用面积法证明了直角三角形三边的关系。（西方学者认为，毕达哥拉斯第一个证明了该定理，故称之为“毕达哥拉斯定理”。也有传说他为此杀了100头牛表示庆祝，从学派素食主义的观点上看，这一说法未必可信！）

2. 特殊数和数组

如完全数，即等于它真因子之和的数。例如6的真因子为1、2、3，1+2+3=6；常被用于占卜的完全数是28，当时人们认为月亮绕地球一周为28天，而28=1+2+4+7+14，这样的发现带来了许多的神秘色彩。



（完全数迄今为止只发现了49个，并且都是偶数，至于能不能找到奇数的完全数，或者奇完全数就不存在，至今没人解决。）又如亲和数220和284：220的真因子之和：1+2+4+5+10+20+22+44+55+110=284；284的真因子之和：1+2+4+71+142=220；他们认为这两个数充满着爱情的味道，两者彼此“含情脉脉”！

数与数组的研究还有三角数（1,3,6,10……）、正方形数（1,4，9,16……）、五边形数（1,5,12,22……）、毕氏三数（勾股数）等；诚然，学派是数论发展的先驱。

3. 正多面体



据柏拉图记载，在五种正多面体中，学派成员蒂迈欧将4种容易作出正多面体——正四面体、正八面体、正二十面体和正六面体，与火、气、水、土神秘的联系起来，至于难作的正十二面体，将它与包罗万象的宇宙联系在一起，后来亚里士多德称之为“以太”（除了水、火、气、土之外，还有一种居于天空之上的以太）。

4. 发现无理数

信徒希帕索斯发现单位正方形对角线长根号2，不是有理数，引发了“第一次数学危机”。



（甚至有学者认为“黄金分割”也是毕达哥拉斯学派发现的，有它们的正五角星徽标为证。这可能是一种臆测，因为，“第一次数学危机”因学派后来发现不可公度的无理数根号2而起，有悖于无理数“黄金比值”的提前知晓，也许，学派选择正五角星为徽标，是出于图形美的直觉。）不仅如此，在毕达哥拉斯看来，最能净化人们心灵的，一定是音乐。



他发现二弦琴两条琴弦的音程之比越简单，和音越和谐，2:1对应八度音，3:2对应五度音，4:3对应四度音，9:8对应二度音。反之，当比例太复杂时，听上去就很刺耳。音乐上的发现，和谐概念的提出，直接引发了毕达哥拉斯学派的核心理念——万物皆数（世界的本源是数）。



事实上，与毕达哥拉斯同时代的佛陀、老子也有类似观点。如《道德经》所云：道生一，一生二，二生三，三生万物。表示“道”生万物，事物的变迁是一个从少到多，从简单到复杂的一个过程。这是老子对伏曦八卦和《易经》的总结，太极生两仪，谓阴阳。与毕达哥拉斯学派认为奇数是阳性的，偶数是阴性的，颇有异曲同工之感，许多学者困惑于古代东方数学如何较大程度的影响了古希腊数学，这也许是个线索。



学派对数有这样的认识：1是万数之源，代表缘由、本元和稳定；2则反之，代表不同与未知，它代表阴性；3是1与2的和，代表和谐与完美，为阳性；4代表正义，是人与自然的纽带；5是2与3的和，谓之阴阳调和、连理相偕；6代表强力非凡，是2与3的积，引起新生命的诞生；最膜拜的数是10……他们相信数字本身是活的，与人的意识有着心灵感应，只需通过各种形式的沉思冥想，人们就可以与数进行心灵交流。



毕达哥拉斯认为，数乃神的语言，一旦掌握了数的结构，就控制了世界，世界的许多事物都是匆匆过客，唯有数是永恒的。

luyuanhong

4  学派的湮灭

把学术的认知上升为一种信仰，毕达哥拉斯学派一度信徒云集。学派主张一夫一妻，允许女子接受教育，知识和财产是公有的（从这个角度看，许多关于毕达哥拉斯的发现，可能并非毕达哥拉斯本人，而是学派的共同发现，加上毕达哥拉斯的讲课全是口授的，更难以考证了）。



信徒们有着共同的生活方式，素食主义是成员们必须遵守的，禁食豆子（因为他们认为，豆子的外形与人类的某个器官相似，吃豆子的行为与同类相食没有区别，对于素食主义者是不合适的）……有学者甚至认为“共产主义”也在此萌芽。

然而，学派的危机也正在于此——万物皆数！他们把数局限在有理数范畴，也就是能够表示成分数形式的数（整数比）。而信徒希帕索斯发现的根号2就无法用分数形式表示。希帕索斯对于“根号2不是有理数”，推理方法可能是阿那克西曼德创造的归谬法，大致过程是这样的：



根号2客观存在，但在学派已有的认知下，却无法准确描述（不可公度），面对这一“荒谬”现象，大家都无计可施。信仰的基石被颠覆了！





这是万万不可的，毕达哥拉斯学派誓死要捍卫他们的“真理和信仰”。传说年轻的数学家希帕索斯因公开了这一秘密，而被抛进了大海。但也有学者提出：希帕索斯被扔进地中海的传说未必可信。因为他们发现，毕达哥拉斯学派是一个充满爱心的组织。传说学派成员客死他乡，临死前他告诉旅店店主，只要在店门口挂上刻有五角星的徽标，便有人来帮助偿还住店和看病的债务。不久，果然一位学派的信徒路过此店还请了债务。



神秘的五角星代表的不仅仅是智慧，还有健康、友爱，这样的组织应该不会去杀害希帕索斯，更有可能的是，将他“逐出师门”。伴随着影响的日益扩大，他们的存在直接威胁着统治阶级的利益，学派的湮灭也从此开始。至公元前500年前后，南意大利民主力量逼迫学派解散，毕达哥拉斯以及他的信徒惨遭杀害，尽管虔诚的信徒们还延续着学派200多年，但往日的辉煌不再。



无理数的发现而导致的“第一次数学危机”，引发了数学的大发展，古希腊人慢慢明白：“直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是最可靠的”。为公理化体系完善，旷世巨著《几何原本》的诞生（成书于公元前300年前后），奠定了坚实的基础。



“神秘教主”毕达哥拉斯的故事，似乎在告诉人们：在数学的世界里，无理即未知，未知即未来！

——  END  ——

关于泰勒斯、毕达哥拉斯以及毕达哥拉斯学派，史上至今鲜有直接证据，文章及视频提及的许多观点也值得进一步推敲，特把完成此文的主要参考文献列举如下：

[1][美]霍华德·伊夫斯（Howard Eves）.数学史概论[M].哈尔滨工业大学出版社，2009：73-84.
[2]量子学派.公式之美[M].北京大学出版社，2020：32-40.
[3]汪晓勤.HPM:数学史与数学教育[M].科学出版社，2017：69.
[4][美]克利福德·皮寇弗.数学之书[M].重庆大学出版社，2015：14.
[5][美]卡尔·B.博耶（Carl B.Boyer）.数学史（修订版）[M].中央编译出版社，1991：57-60.
[6][英]Tony Crilly.你不可不知的50个数学知识[M].人民邮电出版社，2010：38-39.
[7]蔡天新.数学简史[M].中信出版集团，2017：34-38.
[8][英]布赖恩·克莱格.数学世界的探奇之旅[M].中信出版集团，2017：36-39.

coolboy

毕达哥拉斯（公元前570年－公元前495年）
老子（公元前571 - 公元前471年）
与毕达哥拉斯同时代的中国知名哲学家是老子。他在当时数学领域的贡献是“道生一，一生二，二生三，三生万物。”现在就有不少中国人用老子的这一数学或数字教条来解释不少自然规律呢！
老子与毕达哥拉斯相比，谁更厉害一点呢？
用现代的术语来讲，毕达哥拉斯就是一个数学家，老子就是一个数学民科。

任在深

coolboy 发表于 2021-9-10 00:38
毕达哥拉斯（公元前570年－公元前495年）
老子（公元前571 - 公元前471年）
与毕达哥拉斯同时代的中国 ...

老子这位“民科”可比毕达哥拉斯这位数学家要高明得多！
因为老子的‘’道生一，一生二，二生三，三生万物。”揭示了宇宙大自然法则！
他所揭示的是宇宙万物从微小的原子，质子，分子直到大分子，月亮，地球，太阳，星系包括宇宙本身的结构和结构关系的科学！
      宇宙是这么产生的！万物都是如此！！
      因此“老子天下第一！”