为什么矩阵 A,B 乘积 AB 的秩小于等于矩阵 A 和矩阵 B 的秩？

wufaxian

若 A 是 2x3，B 是 3x2，且 AB = I，由秩证明 BA \(\ne\) I。给出一个 A 与 B 的例子 使得 AB = I。当 m < n，右侧逆矩阵不等于左侧逆矩阵。

答案：Certainly A and B have at most rank 2. Then their product AB has at most rank 2.  Since BA is 3 by 3, it cannot be I even if AB = I.

这个答案的逻辑似乎是BA的秩不可能超过AB的秩2，BA是3x3，所以BA不可能是单位阵I。可是为什么“ BA的秩不可能超过AB的秩2”？

luyuanhong

我过去在《数学中国》发表过一个帖子，证明了以下结论：

     若 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×p 矩阵，则必有 rk(AB)≤min{rk(A),rk(B)} 。

在楼上的题目中，因为 A 是  2×3 矩阵，B 是 3×2 矩阵，所以它们的秩 rk(A)≤2 ，rk(B)≤2 。

由上面我证明的结论（估计在你看的教材中，也已经讲到过这一结论）可知：

    BA 的秩 rk(BA)≤min{rk(B),rk(A)}≤min{2,2)=2 。

liangchuxu

也可用线性表出来证。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-9-16 17:45
我过去在《数学中国》发表过一个帖子，证明了以下结论：

     若 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×p 矩阵，则必 ...

谢谢lu老师的详细解答。
我看的书中没有关于此命题的证明，但是在习题中抛出了这个问题。让读者自己找矩阵试验。我演算了一下确实如此。

在你的证明中矩阵p是几乘几的矩阵？乘出来的的矩阵中的G是单位矩阵么？
为什么前面的是PA，后面却是BQ？顺序不一致。

luyuanhong

对 A 作行初等变换，相当于对 A 左乘一个可逆阵 P ，也就是 PA 。

对 B 作列初等变换，相当于对 B 右乘一个可逆阵 Q ，也就是 BQ 。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2021-9-16 19:46
也可用线性表出来证。

谢谢你的回复。对我很有启发。但是我看后头脑中的逻辑链条还有一处没有连接起来。

B的秩rank(B)等于B中独立行向量的个数，同理C的秩rank(C)等于C中独立行向量的个数。可是C的第一行是A的第一行各元素对B各行线性组合的结果。这个结果仅仅形成了C的第一行。同理C的第n行是A的第n行各元素对B各行线性组合的结果。B中各行之间的线性相关性对C中各行线性相关性还有影响么？
那么C中独立行向量数量rank(C)的多少。是否还与B中独立行向量的个数rank(B) 的多少有关呢？是否就能得出rank(C)\(\le\)rank(B)这样的结论？

最后下划线这部分还有些想不明白。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-9-16 23:17
对 A 作行初等变换，相当于对 A 左乘一个可逆阵 P ，也就是 PA 。

对 B 作列初等变换，相当于对 B 右乘 ...

所以PA的结果是形成A的“最简行阶梯形式”？

liangchuxu

wufaxian 发表于 2021-9-16 23:18
谢谢你的回复。对我很有启发。但是我看后头脑中的逻辑链条还有一处没有连接起来。

B的秩rank(B)等于B ...

所涉及定理---T组表出P组，秩(P)<=秩(T)

wufaxian

liangchuxu 发表于 2021-9-17 09:03
所涉及定理---T组表出P组，秩(P)

谢谢指教。
T组表出P组，极大线性无关组还没学。学完以后再来看。先收藏了。

liangchuxu

wufaxian 发表于 2021-9-17 14:26
谢谢指教。
T组表出P组，极大线性无关组还没学。学完以后再来看。先收藏了。

其实，很好理解。T可表出P，T产生的向量空间Vt包含P产生的空间Vp，dim(Vt)\(\ge\)dim(Vp)