在画满距离 L 平行线平面上，画一周长为a(a＞L)的三角形，求三角形与平行线相交的概率

amorelze

在一个填满了间隔l的平行线的二维空间中画一个周长as的三角形as>l,求该三角形与平行线相交的概率。

Nicolas2050

:lol变异蒲丰投针问题；早已解决。

Nicolas2050

problem:
平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面上投掷一个边长为a,b,c（小于d）三角形，求三角形与平行线相交的概率。

三角形与平行线相交时，必定是两边同时与其相交，不多不少。（这个说法不是太准确，不过顶点与平行线相交的那
种情况概率为0，所以这样说也不过分）下面用加法公式来解决这个问题：



分别记事件A、B、C为“边a、b、c与平行线相交”，则要求的是P(A∪B∪C)。根据加法公式：

P(A∪B∪C)=P（A）+P（B）+P（C）-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)   (*)

根据上面的结论，已经可以看出

P(A∪B∪C)= P(AB)+P(BC)+P(AC)             （与三角形相交必为与其中两边相交）

P(ABC)=0                                  （不可能与三边相交）

代入(*)式：

         P(A∪B∪C)=P（A）+P（B）+P（C）- P(A∪B∪C) + 0

因此有

P(A∪B∪C)= [P（A）+P（B）+P（C）]/2，

而P（A）、P（B）、P（C）可以通过蒲丰投针试验的结论得到（注意这里已经不必考虑a,b,c的独立性了）。代入即可得（a+b+c）/pi*d。

Nicolas2050

蒲丰投针实验的应用   


（1）蒲丰投针原问题：

这是一个平面问题，是在面上投线。原问题是一个基础，但是实际中很难应用，因为现实中不存在理想的线（无宽度）。

（2）扩展：将平行线变为“带”

第一个扩展是将设置的这组等距平行线变为一组“带”。这里“带”是指一组有宽度的区域。如何运用这个问题：

假设我们有一大片山脉，我们要做的是探明这篇地区是否蕴含某种矿藏。探测设备是飞机，它可以扫描其下一定半径内的是否具有这种矿藏，显然，飞机在飞行的时候其下扫过的是一片“带”。同时，我们已知这种矿藏的分布是线形的，就是说这种矿总是一个线段一个线段地存在。

在这个问题里，矿藏就是针，而飞机扫过的“带”就是这组平行线。下面几种表述是相同的：

①投针成功 ó ②针与带相交 ó ③飞机扫过矿藏 ó ④寻矿成功

这样投针问题就成功转化为了蒲丰投针的扩展问题。

这里需要知道几个参数我们就可以知道寻矿成功的概率：
带的间距，带的宽度，针的长度（可以用平均长度，或者一个经验性的长度代替）。这样比原问题多了一个参数即带的宽度。具体的表达式可以继续探究。

同样，反过来，给定一个寻矿成功的概率，我们可以反求出参数的数值。通常，飞机的扫过的宽度应该是确定无法改变的了，矿藏的分布当然也是无法改变的。但是我们可以选择带的间距，就是说飞机每隔多远扫过一个带状的侦查区域。这对于提高搜索效率是非常重要的。

假设我们要以95%的概率确定这片区域是否有矿藏，我们就可以得到我们要搜索时每隔多远扫过一个带。

为什么这很重要？因为实际上，读过统计都知道，95%虽然和100%只相差5个百分点，但是效率提升远不只十倍百倍。这个过程也有点像有点另类的抽样过程，间距的选择有点像确定样本量。

（3）扩展：将针变为“域”

前面还有一个不太符合实际的限制，就是这时矿藏（针）还必须是一个线段。虽然的确有些矿藏可能是以矿脉形式出现的，但可能这条矿脉可能是一个折线、曲线，更有可能的是一个不规则区域。如果能将线形扩展为“域”就可以得到这个更一般的结论了。

（4）扩展：平面二维空间扩展到高维

比如深水搜索，可能是利用声纳或者其他一些工具，我们探测的区域是一个柱体、椎体等空间区域，而搜索目标也可能是沉船、古迹、军事目标或者其他什么，这些目标也是一个三维空间，也就是一个三维域。

Nicolas2050

蒲丰投针L形针或任意角度L变体问题相交的概率=？

伊利诺伊大学有个开源模拟项目，可以模拟任意形状的曲线或平面体与平行线相交概率。

Nicolas2050

Advanced level
The problem is a variation on the Buffon Needle Problem.
A needle of length 2 is bent at its midpoint forming a right angle. It is then dropped onto a floor on which a family of parallel lines spaced Sqrt[2] units apart have been drawn. What is the probability that the needle lands on one of the lines? Assume that where the midpoint of the needle lands and with what orientation are both uniformly distributed. What if the lines are spaced 2 units apart? 1 unit?

Nicolas2050

References
Cheney, W. and Kincaid, D. (1985). Numerical Mathematics and Computing. 2nd Ed. Pace Grove, California: Brooks/Cole Publishing Company pp. 354-354

Schroeder, L. (1974). Buffon's needle problem: An exciting application of many mathematical concepts. Mathematics Teacher, 67 (2), 183-186.