不可避免的5-轮颜色冲突构形的分类及其解决的办法

雷明85639720

不可避免的5-轮颜色冲突构形的分类及其解决的办法
雷  明
（二○二一年九月二十日）

所谓颜色冲突构形，是指围栏顶点已占用完了四种颜色的构形。以下所说的5—轮构形，都是指BAB型的5—轮构形，即两个同色是B的5—轮构形。这种构形可以分为两大类。
1、K—构形，即坎泊构形。
尽管含有A—C和A—D的双环交叉链是构成H—构形（不可连续的移去两个同色B的构形）的必要条件，但却不是充分条件。即并不是所有含有双环交叉链的构形一定都是不能连续的移去两个同色B的H—构形。如四个“九点形”构形中，就有三个构形就是可以连续的移去两个同色B的构形。
所以K类构形的定义应该是：无论含有或不含有A—C和A—D双环交叉链，只要是可以连续的移去两个同色B的构形，都是K—构形。解决的办法是使用坎泊使用过的可以空出颜色的颜色交换技术，即从构形围栏顶点中两个无连通链的不相邻顶点的任何一个顶点开始，交换由该两个顶点的颜色所构形的对角色链，一定是可以空出该两个顶点所用过的一种颜色来给待着色顶点V着上的。
虽然含有双环交叉的B—C链和B—D链的构形也是不能连续的移去两个同色B的构形，但其却因为有了这两条链，就不可能再有连通的A—C链和A—D链了，所以该构形仍是可以通过坎泊使用过的可以空出颜色的颜色交换技术空出A、C、D三色之一给待着色顶点V着上的。
2、H—构形，即赫渥特构形。
这类构形因为其中一定含有A—C和A—D双环交叉链，既是不可以空出A、C、D三色之一的、又是不可以连续的移去两个同色B的构形。这类构形又可根据有没有经过了关键顶点的环形链，分为两个亚类：
2、1、含有经过了围栏顶点的环形链的构形。
用断链交换法进行解决，即断开双环交叉链的方法。没有了双环交叉链，就不再是H—构形，而是K—构形了。可以再改用解决K—构形的办法去进行解决。断链交换法即是交换后并不空出的颜色的颜色交换技术。这类构形又可根据环形链的种类，分为两个次亚类：
2、1、1、含有环形链A—B的构形
含有经过了围栏顶点A或者经过了A—C和A—D双环交叉链的交叉顶点A的A—B环形链的构形（这两个A色顶点都是关键顶点），用交换经过了围栏顶点C和D的C—D链的办法解决。构形虽然仍看似一个含有双环交叉链的构形，但却是两个不连通的链或者是实际上并没有“十字”交叉的链，而是只有一个共同颜色的顶点的两条连通链的构形。仍然是可以连续的移去两个同色B的；
2、1、2、含有环形链C—D的构形
含有经过了围栏顶点C和D的C—D环形链的构形（这里的C色顶点和D色顶点也都是关键顶点），用交换经过了围栏顶点A或者经过了双环交叉链的交叉顶点A的A—B链的办法解决。这时构形就转化成了一个不含双环交叉链的可约构形了。
2、2、不含有经过了围栏顶点的环形链的构形。
因为构形中不含有经过了围栏顶点的环形链，因而无法用断链法进行解决，那只得用转型法进行解决了。即用改变构形的峰点位置和颜色，以及两个同色顶点的颜色和位置的办法进行解决。也有两种转型的方法：
2、2、1、交换关于两个同色B的一条对角链的转型方法。
这种转型，构形的类型总是在BAB、DCD、ABA和CDC四种类型之间变化。每转型一次，构形峰点的位置和颜色都会改变一次。转型四次，就是一个循环，构形类型又会回到开始时的BAB型。所以这种转型的最大转型次数是4次。转型次数不会超过4次，就会转化成一个可以连续的移去两个同色的构形。在转型的中途也会转化成含有经过了围栏顶点的环形链的构形，也可以改用断链法进行解决，提前结束转型。
2、2、2、交换关于两个同色B的一条邻角链的转型方法。
这种转型，构形的类型总是在BAB、BCB和BDB三种类型之间变化。每转型一次，构形峰点的位置和颜色也都会改变一次。转型三次，构形类型又会回到开始时的BAB型。四种颜色除了两个同色顶贴为的颜色不变外，还有三种颜色在轮流做两个同色顶点的颜色，3次转型是一个循环，又会转化成原来的BAB型。所以这种转型的最大转型次数是4 次。转型次数不会超过3次，就会转化成一个可以连续的移去两个同色的构形。同样的在转型中途也有出现含有经过了围栏顶点的环形链的构形的可能，也可以改用断链交换法。
2、2、3、转型交换绝不会出现周期循环现象
上述的两种转型方法会不会出现象埃雷拉E—图那样，转型过程会出现无穷周期的循环现象呢？不会的。因为E—图是一个含有经过了关键顶点的环形链的构形，而这里所说的构形却是不含有经过了关键顶点的环形链的构形。所以是不会出现象E—图那样的无穷周期循环现象的。理论和实践也都已证明了这一点。
3、以上的不可避免的构形集是完备的。
在以上的分类中，各大类，亚类和次亚类的条件都只有两种，非此即彼，不可能有遗漏的情况，所以这样的分类法所得到的不可避免构形集是完备的。不可能再有别的不可避免的构形了。
4、四色猜测是正确的。
在以上所得到的不可避免的5—轮颜色冲突构形集中，我们已经证明了其中的任何一个构形都是可约的，即是可4—着色的。这样四色猜测也就得到证明是正确的。

雷  明
二○二一年九月二十日于长安

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