如何找出两空间的交集？

wufaxian

问题：对于 a + c + d = 0 的向量(a, b, c, d)形成的空间 S，找出它的一组基底。同时对 a + b = 0 与 c = 2d 的向量(a, b, c, d)形成的空间 T，找出它的一组基底。两者 交集 S ∩ T 的维度是多少？

答案：Basis for S: (1, 0, -1, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 0, -1); basis for T: (1,-1, 0, 0) and (0, 0, 2, 1);

S ∩ T= multiples of (3, -3, 2, 1)= nullspace for 3 equations in R 4 has dimension 1.


疑问：
1、找基底的结果明显正确。但是有什么方法能既没有遗漏，有没有重复的找出基底呢？
2、第二部分交集向量答案是不是错了？
按照求交集的方法，将S 和T的基地连列成列向量矩阵，并求零空间。
     1     0     1     1     0
     0     1     0    -1     0
    -1     0     0     0     2
     0     0    -1     0     1

求出的零空间向量：
     2
    -3
     1
    -3
     1
用最后两项-3 1去线性组合矩阵最后（最右侧）两列。得到的应该是(-3,3,2,1)才对吧？

无论如何，两空间交集确实应该是一个一维的空间。但是答案中最后一句“nullspace for 3 equations in R 4 has dimension 1.”。这三个方程是那三个？我看不懂他求交集空间的思路。

luyuanhong

luyuanhong

（1）“nullspace for 3 equations in R 4 has dimension 1.”中说到的三个方程，是

                                    a+c+d=0 ，a+c=0 和 c=2d 。

（2）你算出的 (-3,3,2,1) 是对的，书上的答案 (3,-3,2,1) 可能是不小心算错了。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-9-23 09:23
（1）“nullspace for 3 equations in R 4 has dimension 1.”中说到的三个方程，是

                   ...

谢谢lu老师的讲解。三个三个方程的问题我明白了。

“对于 a + c + d = 0 的向量(a, b, c, d)形成的空间 S，找出它的一组基底。”一般这种问题如何求解，有什么好方法么？使得生成的向量既满足条件又不相关。

luyuanhong

luyuanhong

luyuanhong