函数百题之2 求 f: R→R 使 f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)

elim

题：求所有\(\,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) 使
\(\qquad f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)\;(\forall x,y\small\in\mathbb{R})\)

11111qqqq

\(f\left( x\right)+f\left( x\right)f\left( 0\right)=f\left( 0\right)+f\left( x\right)+f\left( 0\right)\)
\(f\left( x\right)+f\left( x\right)f\left( 0\right)=f\left( x\right)+2f\left( 0\right)\)
\(f\left( x\right)f\left( 0\right)=2f\left( 0\right)\)

11111qqqq

\(f\left( y\right)+f\left( 0\right)f\left( y\right)=f\left( 0\right)+f\left( 0\right)+f\left( y\right)\)
\(f\left( y\right)f\left( 0\right)=2f\left( 0\right)\)

11111qqqq

所以\(f\left( 0\right)=0\)

elim

函数(方程, 不等式)百题是罗马尼亚数学网站的一个元老收集的问题集。
这些问题在那个网站上有些讨论，但没有多少解是经典的，有些问题还没有解答。

对于本题， \(f_1(x):=0,\;f_2(x)=2,\; f_3(x) = x\) 都满足函数方程。
问题是这些是不是函数方程的全部解？

cgl_74

我的一个分析思路和解法：先利用自然数的递推关系，找到自然数域的函数表达；然后扩展到有理数域的函数表达，最后扩展到无理数域的函数表达。
在向无理数扩展的时候，发现无理数是比较复杂的。比如pai，e等数，是无法通过加减乘除法有限次运算得到的。如果增加一个条件，函数至少在某个点连续，则可以完美解答。如果是处处不连续的函数，就很复杂。因为给出的函数条件只是用到了加法和乘法，也无法构造出所有的无理数。