子空间相加的含义是什么？

wufaxian

看到一个证明过程中有如下步骤
C(A|B)=C(A)+C(B)

C(A|B)是分块矩阵的列空间，C(A)是矩阵A的列空间，C(B)是矩阵B的列空间。C(A)+C(B)的含义是什么呢？比如子空间相加的几何含义是什么呢？

luyuanhong

一般来说，设 U 与 W 都是向量空间 V 的子空间，它们的相加之和 U+W ，是这样的一个子空间：

在 U+W 中的任何一个向量，都可以表示为 U 中的一个向量，加上一个 W 中的向量的形式。

反过来，U 中的任何一个向量，加上 W 中的任何一个向量，得到的向量，必定在 U+W 中。

在楼上帖子中，C(A) 是矩阵 A 的列空间，C(B）是矩阵 B 的列空间，按照上面的定义，它们相加之和

C(A)+C(B) ，是这样的一个空间：

在 C(A)+C(B) 中的任何一个向量，都可以表示为 C(A) 中的一个向量，加上 C(B) 中一个向量的形式。

反过来，C(A) 中的一个向量，加上 C(B) 中的一个向量，得到的向量，必定在 C(A)+C(B) 中。

也就是说，C(A)+C(B) 中的任何一个向量，都可以表示为矩阵 A 中各列的线性组合，加上矩阵 B 中

各列的线性组合的形式。

反过来，矩阵 A 中各列的任何一个线性组合，加上矩阵 B 中各列的任何一个线性组合，得到的向量，

必定在 C(A)+C(B) 中。