零空间基底和左零空间的基底必定正交么？

wufaxian

指令 N = null(A) 会得到 A 的零空间的一组基底。则指令 B = null(N’)会得到 A的______的一组基底。（补充说明：null是Matlab的命令，可以求矩阵的零空间基底。’是matlab的矩阵转置命令。）

答案：null(N ′) produces a basis for the row space of A (perpendicular to N(A)).


答案括号中的部分说null(N ′) 的基底会垂直于N(A)，这个结论有定理支持么？我看的书里没有这样的内容。

luyuanhong

Matlab 中的指令 N = null(A) 得到的是 A 的零空间 N(A) 的一组基，也就是所有满足 Ax=0 的 x 组成的

向量空间的一组基。矩阵 N ，是 A 的零空间 N(A) 的一组基按列向量的形式排成的一个矩阵。矩阵 N 的

转置 N'，是 N(A) 的一组基按行向量的形式排成的一个矩阵。

指令 B = null(N') 得到的是 N' 的零空间的一组基，也就是所有满足 N'y=0 的 y 组成的向量空间的一组基。

矩阵 B ，是所有满足 N'y=0 的 y 组成的向量空间的一组基按列向量的形式排成的一个矩阵。

满足 N'y=0 的向量 y ，必定与 N' 的行向量正交，所以，B = null(N') 中的各列，都与 N' 的行向量正交。

而 N' 中的行向量，就是 A 的零空间 N(A) 的一组基。也就是说，B = null(N') 中各列，都与 A 的零空间  

N(A) 的基正交。所以，由 B = null(N') 中的各列为基生成的向量空间，也必定与 A 的零空间 N(A) 正交。

注意：B = null(N') 并不是 B = null(A') ，所以本题与 A 的左零空间 N(A') 没有任何关系。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-10-5 01:05
Matlab 中的指令 N = null(A) 得到的是 A 的零空间 N(A) 的一组基，也就是所有满足 Ax=0 的 x 组成的

向 ...

谢谢lu老师的详细回复。我很有收获。同时也在收获中产生新的疑问。

首先梳理一下。答案中的第二部分perpendicular to N(A)，从题干可知N(A)=N=null(A)。这里是不是有一个默认的“潜规则”？当我们说N(A)与A的行空间正交的时候，需要明确正交的是A的“行空间”。假设A是3x3 秩=1的矩阵。显然他的零空间N(A)是一个3维空间中的2维平面。空间有2个基。如果一定要用“矩阵”来描述这个“零空间”。那么既可以将2个基作为行向量来构成矩阵。也可以将2个基地作为列向量来构成矩阵。没有人规定描述空间的矩阵必须用列向量吧？比如左零空间不就是正交于矩阵的“行空间”。我想之所以默认零空间N(A)矩阵化以后，基底是列向量，主要是为了使 A N(A)=0,  如果强行规定用零空间2个基底作为N(A)的行向量也不是不可以，只要变成N(A)\(A^{T}\)=0 就可以了。此时前后两个N(A)对应的是同样的空间。

之所以有上面的讨论，是因为只有矩阵A零空间的两个基底必须是矩阵N的列空间，才有后面的Null(N')perpendicular to N(A)。因为Null(N')正交于N'的行向量---->Null(N')正交于N的列向量----->Null(N')正交于N（A）的逻辑链条必须要以“矩阵A零空间的两个基底必须是矩阵N的列空间”作为前提的。不知道我这么以上理解对不对？

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-10-5 01:05
Matlab 中的指令 N = null(A) 得到的是 A 的零空间 N(A) 的一组基，也就是所有满足 Ax=0 的 x 组成的

向 ...

有了前面的讨论，我突然发现“null(N ′) produces a basis for the row space of A”也成为了一个问题。我不知道得出该结论的逻辑是不是根据下面的步骤？假设A是3x3 秩=2的矩阵，因此A的零空间只有的一个基底。假设这个基底是向量x。x必然是N的列向量。因此x正交于A的行向量，同时x正交null(N ′) 。于是“null(N ′) produces a basis for the row space of A”成立？

如果是基于以上步骤得出的结论。我的困惑是：虽然null(N')的基底和A行向量的基底都垂直于x。但是不代表“null(N ′) produces a basis for the row space of A”就一定成立吧。三维空间同时垂直于x的向量可以重合，也可以有非零的夹角啊。如果A行空间的基底向量虽然垂直于x，但是与null(N')的基底向量存在一个30度的夹角。那么“null(N ′) produces a basis for the row space of A”的结论不就不成立了么？