r2(N)≥[N/(lnN)^2]

cuikun-186 · 发表于 2021-10-9 06:46

本帖最后由 cuikun-186 于 2021-10-20 11:46 编辑

双筛法的步骤：
首先给出：偶数N=2n+4，建立如下互逆数列：
首项为1，末项为N-1,公差为2的等差数列A
再给出首项为N-1,末项为1，公差为-2的等差数列B
显然N=A+B
根据埃氏筛法获得奇素数集合P：
｛3，5，…，Pr｝,Pr<N^1/2
为了获得偶数N的表法数，按照双筛法进行分步操作：
第1步：将互逆数列用3双筛后得到真实剩余比m1
第2步：将余下的互逆数列用5双筛后得到真实剩余比m2
第3步：将余下的互逆数列用7双筛后得到真实剩余比m3
…
依次类推到：
第r步：将余下的互逆数列用Pr双筛后得到真实剩余比mr
这样就完成了对偶数N的求双筛法表法数，根据乘法原理有：
r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr
即r2(N)=(N/2)∏mr
根据素数定理我们可以综合上面的双筛法:
r2(N)至少有N/(lnN)^2个，那就是：
第一步：
不超过偶数N的奇素数至少有N/lnN个
第二步：
再次运用1/lnN筛选这N/lnN个奇素数
则r2(N)≥N/(lnN)^2≥[N/(lnN)^2]

cuikun-186 · 发表于 2021-10-9 11:08

例如：
[√70]=8，｛Pr｝={3,5,7},
3|/70，m1=13/35
5|70, m2=10/13
7|70, m3=10/10
根据真值公式得：
r2(70)
=(70/2)*m1*m2*m3
=35*13/35/10/13*10/10
=10
r2(70)=10为真
[√34]=5，｛Pr｝={3,5},
3|/34，m1=7/17
5|/34, 5的倍数已被3全部筛掉，
即5的倍数没有剩余，但剩余比m2=7/7=1
根据真值公式得：
r2(34)
=(34/2)m1*m2=17*1*7/17=7
r2(34)=7为真
[√210]=14，
｛Pr｝={3,5,7，11，13},
3|210,m1=2/3
5|210,m2=4/5
7|210，m3=6/7
11|/210,m4=5/6
13|/210,m5=19/20
根据真值公式得：
r2(210)
=(210/2)*m1*m2*m3*m4*m5
=105*2/3*4/5*6/7*5/6*19/20
=38
r2(210)=38为真

cuikun-186 · 发表于 2021-10-9 11:11

r2(70)≥70/（ln70）^2=3.8……

cuikun-186 · 发表于 2021-10-9 11:13

r2(34)≥34/（ln34）^2=2.7……

cuikun-186 · 发表于 2021-10-9 11:14

r2(210)≥210/（ln210）^2=7.3……

cuikun-186 · 发表于 2021-10-9 13:33

r2(1000)≥1000/（ln1000）^2=20.9......

cuikun-186 · 发表于 2021-10-9 13:34

r2(10000)≥10000/（ln10000）^2=117.8......

cuikun-186 · 发表于 2021-10-9 18:43

r2(100000)≥100000/（ln100000）^2=754.44……

yangchuanju · 发表于 2021-10-20 09:20

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-10-20 09:33 编辑

两种哥猜数下限表达式对照：
下限式1：R2≥(√N)/2
下限式2：R2≥N/ln(N)^2（崔坤推荐式）
式中R2——双计哥猜数，N——偶数

根据A002372给出10000个偶数2 4 6 …… 20000的双计（有序）哥猜数与两个下限式进行比较，当偶数N等于2-18时(√N)/2小于N/ln(N)^2；当偶数N等于20-186时(√N)/2大于N/ln(N)^2；当偶数N大于188时(√N)/2小于N/ln(N)^2，且随着N值的增大差值越来越大，当N=20000时(√N)/2约为N/ln(N)^2的1/3。
下限式1在N等于2,4,6,38,68时不成立；下限式2仅在N等于2,4,6时不成立。
由于当N值较大时，下限式1的数值远小于下限式2的数值，下限式2更接近于哥猜数真实值，建议用下限式2作为哥猜数下限估算较好。

偶数N R2 (√N)/2 R2-(√N)/2 N/ln(N)^2 R2-N/ln(N)^2 差1-差2
2 0 0.707 -0.707 4.163 -4.163 3.456
4 0 1.000 -1.000 2.081 -2.081 1.081
6 1 1.225 -0.225 1.869 -0.869 0.644
8 2 1.414 0.586 1.850 0.150 0.436
10 3 1.581 1.419 1.886 1.114 0.305
12 2 1.732 0.268 1.943 0.057 0.211
14 3 1.871 1.129 2.010 0.990 0.139
16 4 2.000 2.000 2.081 1.919 0.081
18 4 2.121 1.879 2.155 1.845 0.033
20 4 2.236 1.764 2.229 1.771 -0.008
22 5 2.345 2.655 2.303 2.697 -0.043
24 6 2.449 3.551 2.376 3.624 -0.073
26 5 2.550 2.450 2.449 2.551 -0.100
28 4 2.646 1.354 2.522 1.478 -0.124
30 6 2.739 3.261 2.593 3.407 -0.145
32 4 2.828 1.172 2.664 1.336 -0.164
34 7 2.915 4.085 2.734 4.266 -0.181
36 8 3.000 5.000 2.803 5.197 -0.197
38 3 3.082 -0.082 2.872 0.128 -0.210
40 6 3.162 2.838 2.939 3.061 -0.223
42 8 3.240 4.760 3.006 4.994 -0.234
44 6 3.317 2.683 3.073 2.927 -0.244
46 7 3.391 3.609 3.138 3.862 -0.253
48 10 3.464 6.536 3.203 6.797 -0.261
50 8 3.536 4.464 3.267 4.733 -0.268
52 6 3.606 2.394 3.331 2.669 -0.275
54 10 3.674 6.326 3.394 6.606 -0.281
56 6 3.742 2.258 3.456 2.544 -0.286
58 7 3.808 3.192 3.518 3.482 -0.290
60 12 3.873 8.127 3.579 8.421 -0.294
62 5 3.937 1.063 3.640 1.360 -0.297
64 10 4.000 6.000 3.700 6.300 -0.300
66 12 4.062 7.938 3.760 8.240 -0.302
68 4 4.123 -0.123 3.819 0.181 -0.304
70 10 4.183 5.817 3.878 6.122 -0.305
72 12 4.243 7.757 3.937 8.063 -0.306
74 9 4.301 4.699 3.995 5.005 -0.307
76 10 4.359 5.641 4.052 5.948 -0.307
78 14 4.416 9.584 4.109 9.891 -0.306
80 8 4.472 3.528 4.166 3.834 -0.306
82 9 4.528 4.472 4.223 4.777 -0.305
84 16 4.583 11.417 4.279 11.721 -0.304
86 9 4.637 4.363 4.334 4.666 -0.302
88 8 4.690 3.310 4.390 3.610 -0.301
90 18 4.743 13.257 4.445 13.555 -0.299
92 8 4.796 3.204 4.500 3.500 -0.296
94 9 4.848 4.152 4.554 4.446 -0.294
96 14 4.899 9.101 4.608 9.392 -0.291
98 6 4.950 1.050 4.662 1.338 -0.288
100 12 5.000 7.000 4.715 7.285 -0.285
102 16 5.050 10.950 4.769 11.231 -0.281
104 10 5.099 4.901 4.821 5.179 -0.278
106 11 5.148 5.852 4.874 6.126 -0.274
108 16 5.196 10.804 4.926 11.074 -0.270
110 12 5.244 6.756 4.979 7.021 -0.265
112 14 5.292 8.708 5.030 8.970 -0.261
114 20 5.339 14.661 5.082 14.918 -0.256
116 12 5.385 6.615 5.134 6.866 -0.252
118 11 5.431 5.569 5.185 5.815 -0.247
120 24 5.477 18.523 5.236 18.764 -0.242
122 7 5.523 1.477 5.286 1.714 -0.236
124 10 5.568 4.432 5.337 4.663 -0.231
126 20 5.612 14.388 5.387 14.613 -0.225
128 6 5.657 0.343 5.437 0.563 -0.220
130 14 5.701 8.299 5.487 8.513 -0.214
132 18 5.745 12.255 5.537 12.463 -0.208
134 11 5.788 5.212 5.586 5.414 -0.202
136 10 5.831 4.169 5.635 4.365 -0.196
138 16 5.874 10.126 5.684 10.316 -0.189
140 14 5.916 8.084 5.733 8.267 -0.183
142 15 5.958 9.042 5.782 9.218 -0.176
144 22 6.000 16.000 5.830 16.170 -0.170
146 11 6.042 4.958 5.878 5.122 -0.163
148 10 6.083 3.917 5.927 4.073 -0.156
150 24 6.124 17.876 5.975 18.025 -0.149
152 8 6.164 1.836 6.022 1.978 -0.142
154 16 6.205 9.795 6.070 9.930 -0.135
156 22 6.245 15.755 6.117 15.883 -0.128
158 9 6.285 2.715 6.165 2.835 -0.120
160 16 6.325 9.675 6.212 9.788 -0.113
162 20 6.364 13.636 6.259 13.741 -0.105
164 10 6.403 3.597 6.306 3.694 -0.098
166 11 6.442 4.558 6.352 4.648 -0.090
168 26 6.481 19.519 6.399 19.601 -0.082
170 18 6.519 11.481 6.445 11.555 -0.074
172 12 6.557 5.443 6.491 5.509 -0.066
174 22 6.595 15.405 6.537 15.463 -0.058
176 14 6.633 7.367 6.583 7.417 -0.050
178 13 6.671 6.329 6.629 6.371 -0.042
180 28 6.708 21.292 6.675 21.325 -0.033
182 12 6.745 5.255 6.720 5.280 -0.025
184 16 6.782 9.218 6.766 9.234 -0.017
186 26 6.819 19.181 6.811 19.189 -0.008
188 10 6.856 3.144 6.856 3.144 0.001
190 16 6.892 9.108 6.901 9.099 0.009
192 22 6.928 15.072 6.946 15.054 0.018
194 13 6.964 6.036 6.991 6.009 0.027
196 18 7.000 11.000 7.036 10.964 0.036
198 26 7.036 18.964 7.080 18.920 0.044
200 16 7.071 8.929 7.124 8.876 0.053
差1-差2共84个负值，对应的N=20-186。

yangchuanju · 发表于 2021-10-20 09:21

（接上楼）
偶数N R2 (√N)/2 R2-(√N)/2 N/ln(N)^2 R2-N/ln(N)^2 差1-差2
9980 272 49.950 222.050 117.698 154.302 67.748
9982 270 49.955 220.045 117.716 152.284 67.761
9984 422 49.960 372.040 117.735 304.265 67.775
9986 205 49.965 155.035 117.753 87.247 67.788
9988 220 49.970 170.030 117.772 102.228 67.802
9990 538 49.975 488.025 117.790 420.210 67.815
9992 204 49.980 154.020 117.808 86.192 67.828
9994 196 49.985 146.015 117.827 78.173 67.842
9996 510 49.990 460.010 117.845 392.155 67.855
9998 197 49.995 147.005 117.864 79.136 67.869
10000 254 50.000 204.000 117.882 136.118 67.882
10002 394 50.005 343.995 117.901 276.099 67.896
10004 198 50.010 147.990 117.919 80.081 67.909
10006 183 50.015 132.985 117.938 65.062 67.923
10008 384 50.020 333.980 117.956 266.044 67.936
10010 382 50.025 331.975 117.975 264.025 67.950
10012 198 50.030 147.970 117.993 80.007 67.963
10014 418 50.035 367.965 118.011 299.989 67.977
10016 208 50.040 157.960 118.030 89.970 67.990
10018 197 50.045 146.955 118.048 78.952 68.003
10020 526 50.050 475.950 118.067 407.933 68.017

偶数N R2 (√N)/2 R2-(√N)/2 N/ln(N)^2 R2-N/ln(N)^2 差1-差2
19960 434 70.640 363.360 203.592 230.408 132.952
19962 658 70.643 587.357 203.608 454.392 132.964
19964 428 70.647 357.353 203.624 224.376 132.977
19966 348 70.651 277.349 203.640 144.360 132.990
19968 714 70.654 643.346 203.657 510.343 133.003
19970 450 70.658 379.342 203.673 246.327 133.015
19972 330 70.661 259.339 203.689 126.311 133.028
19974 660 70.665 589.335 203.706 456.294 133.041
19976 374 70.668 303.332 203.722 170.278 133.054
19978 426 70.672 355.328 203.738 222.262 133.066
19980 906 70.675 835.325 203.754 702.246 133.079
19982 328 70.679 257.321 203.771 124.229 133.092
19984 326 70.682 255.318 203.787 122.213 133.105
19986 670 70.686 599.314 203.803 466.197 133.117
19988 360 70.689 289.311 203.819 156.181 133.130
19990 438 70.693 367.307 203.836 234.164 133.143
19992 868 70.697 797.303 203.852 664.148 133.155
19994 382 70.700 311.300 203.868 178.132 133.168
19996 334 70.704 263.296 203.885 130.115 133.181
19998 730 70.707 659.293 203.901 526.099 133.194
20000 462 70.711 391.289 203.917 258.083 133.206

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r2(N)≥[N/(lnN)^2]

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