关于Ax=b的完整解和正交补两部分知识的一点点困惑

wufaxian

书中在讲Ax等于b完整解时提到如果m=r<n，Ax=b有无数解。求解的方法是将A和b写成增广阵，通过行变换讲A化简成最简行阶梯形式（这个过程b也参与），这是x的特解就蕴含在化简后的b中，特解与零空间解的关系大致如下



特解\(x_{p}\)与零空间解\(x_{n}\)并不正交，同时特解\(x_{p}\)也不唯一。正如图一红线部分所述，特解会是直线上的一个点。直线上有无数点，任选一点都可以和零空间解\(x_{n}\)“张成整个解空间”






但是到了讲四个子空间正交补关系的时候引出一个知识点。“ 每一个 x 可以分成一个行空间分量\(x_{r}\)与一个零空间分量 \(x_{n}\) ”解题过程如下：




这个解\(x_{r}\)具有唯一性！且和零空间解必然垂直（因为\(x_{r}\)在矩阵的行空间中）。这个特点似乎与第一种方法有些出入。表现在：唯一性和是否与零空间解垂直这两个点上！



如何看待这种出入，我的猜测如下，请老师们看看对不对。
第二种方法得出的是第一种方法求出解的一个特例！即第二种方法得到的\(x_{r}\)是第一种解中\(x_{p}\)的一个特例，这个特例垂直于零空间解\(x_{n}\)，存在于矩阵的行空间中。站在图一的角度上看“直线上一点\(x_{p}\)，可以在直线上任意滑动，但是如果要求他与\(x_{n}\)垂直，那么你讲只能得到唯一的\(x_{p}\)= \(x_{r}\)，他垂直于\(x_{n}\)且存在于A的行空间中。对么？

其次按照第二种方法所述任意解都可以拆成行空间解\(x_{r}\)和零空间解\(x_{n}\)，如下图所示



那么我们是否可以认为可逆矩阵A的解\(x_{n}\)被压缩到了零向量，此时唯一的解x和\(x_{r}\)重合。所以唯一的解x必然存在于矩阵A的行空间中？这个结论成立么？