戴德金分割悖论：现代数学的重大失误

门外汉

戴德金分割是现代数学的一个重要工具，由戴德金分割可以定义无理数，进而定义全体实数，下面简单说一下戴德金分割是怎么定义无理数的：
将所有的有理数分为A和B两个集合，并且满足：（1）：A和B中至少包含有理数集Q中的一个元素，简称非空。（2）:任何一个有理数要么在A中，要么在B中，并且A与B的并集为全体有理数，简称不漏。（3）：对于A中的任何一个元素a和B中的任何一个元素b，皆有a＜b，简称有序。
我们将满足以上三个条件的划分称为一个戴德金分割。
对于仼意一个戴德金分割，只有可能产生以下四种结果：
①：A中有最大元素，B中无最小元素；
②：A中无最大元素，B中有最小元素；
③：A中无最大元素，B中无最小元素；
④：A中有最大元素，B中有最小元素。
根据有理数的稠密性，可以证明第④种情况是不存在的，因此对于任何一个有理数的戴德金分割，只会产生上述前三种情况。
单独考虑第③种情况：A中无最大元素，B中无最小元素：举例来说，令A=｛a|a^2＜2｝，B=｛b|b^2＞2｝，这个分割的意思其实是说：A集合中的所有元素全都是小于根号2的有理数，在这个集合中当然找不到最大元素，而B集合中的所有元素全都是大于根号2的有理数，这个集合当然找不到最小元素。
戴德金说，每当出现第③种情况，就定义出一个无理数，例如上述的例子中定义了无理数根号2。
当然我上面的描述小白们看了会似懂非懂，下面我就用比较直观的方法来解释一下：
先假设将所有自然数全都铺在数轴上，能铺满数轴吗？答案是非常明显的，不能，因为每两个自然数之间，例如1和2的中间就留有一个巨大的空隙。
再假没将所有的有理数全都铺在数轴上，能铺满整个数轴吗？在古希腊毕达哥斯拉时代，认为万物皆为有理数，数轴上任何一个点都能用有理数来表示，后来他的一个学生希帕索斯搞出了一个根号2制造了第一次数学危机，假如说所有有理数能铺满数轴，那么根号2在数轴上就没有位置，这就解释不通了，所以全体有理数也不能铺满数轴，这说明有理数之间也是有空隙的，简称有理数不连续（或称有理数不完备）
在上面所述的戴德金分割中，每当出现第③种情况，就相当于是分割出了一个两组有理数集合之间的空隙，而这个空隙便由无理数来填补，于是有理数与无理数共同填满数轴，数轴就不再有空隙了，于是数
轴就是连续的了（或称实数完备）
关于戴德金分割原理的介绍就到这里了，当然，懂的一看就懂，不懂的看了也不懂。
下面隆重推出由戴德金分割导致的戴德金分割悖论：
这个悖论很简单，由上面所述，某个戴德金分割如果出现第③种情况，即A中无最大元素，B中无最小元素，就相当于是在A和B两个集合的中间分割出了一个空隙，这个空隙由无理数来填补。
现在的问题是：既然是一个空隙，那么该空隙的长度是大于0呢？还是等于0呢？
假设该空隙的长度是大于0的，那么用一个无理数，例如根号2这个无理数去填补，由于根号2是一个实数，一个实数只占据一个点，而一个点的长度为0，既然空隙的长度大于0，所以根号2这一个点肯定是填不满空隙的，矛盾了。
假设该空隙的长度等于0，空隙的长度等于0就是没有空隙，没有空隙还用什么无理数去填补？又矛盾了。
好了，简简单单的几句话，三言两语就又一次把数学大厦给搞塌了，抱歉啊。
如果我上面说的话你看不懂，那么你这么想：在一整条实数轴上，挖掉根号2这个点，于是数轴会断成两截，现在我问：两条数轴的间断点间有空隙吗？
如果有，空隙的长度是多少？大于0吗？只挖掉一个长度为0的点，空隙的长度怎么会大于0？
空隙的长度是0吗？空隙的长度为0那不是没有空隙吗？
如果没有空隙，那么我把数轴上的所有无理数点全都挖掉，数轴是不是还是没有空隙？

elim

长度为零的空隙是存在的。戴德金分割产生的空'隙的长度都是零.  

jzkyllcjl

我支持你提出的悖论，实数理论需要改革，无穷集合理论需要改写。

elim

jzkyllcjl 发表于 2021-10-13 22:38
我支持你提出的悖论，实数理论需要改革，无穷集合理论需要改写。

吃狗屎的 jzkyllcjl 支持的东西间接地说明这东西有问题。jzkyllcjl 的那些
愚蠢空洞的猿声只能用来自残。
\(\mathbb{R}-\{\sqrt{2}\}\) 就是一个有0长度空隙的集合。它对应于戴德金分割
\(\small(A,\,B):\; A=\{a\in\mathbb{Q}: (a\le 0)\vee (0< a^2< 2)\},\;B=\mathbb{Q}-A\).

上下集的空隙长度定义为 \(\rho(A,B)=\inf\{|y-x|: x\in A,\,y\in B\}\).

APB先生

有理数和无理数本身就是不科学的胡扯八道！！因为分数只需分为有限分数和无限分数，不需要分为有理数和无理数
。所谓无理数不过是无限多个有理数之和，或称无限分数。

elim

无理数实际上是非比数．它不能表示成两个整数的比．

任在深

elim 发表于 2021-10-15 21:02
无理数实际上是非比数．它不能表示成两个整数的比．

狗带嚼子------------胡勒！
          请看：

                     30+√2
           1. π=------------
                        10
                           4
          2. e=E=----------=√16/√2=√8=2√2
                          √2

        3.  √2=√4/√2=√8/√4=......=√2n/√n

ELIM白痴呀？白痴！elim

elim

指出日本楞种弄出缩水的楞率这种畜生不如的东西以来，它和它东西就都归垃圾处理了。