已知子空间 S 一组基和正交补 S⊥ 的一组基，求 b1∈S，b2∈S⊥，使 b1+b2=(1,1,1,1)

wufaxian

我对上图的问题和答案没有任何疑议。我自己的问题来自于题目的第三问。当我看到第三问答案的时候，我想这个答案是通过什么方法得到的呢？答案应该不唯一吧？

第一问的答案给出了S的三个独立的列向量，第二问给出了左零空间的基向量。S的列空间和左零空间是正交补，也就是说四维空间的向量要么在S的列空间中，要么在S的左零空间中。b=(1,1,1,1)也不例外。那么只要b和左零空间基向量不共线，那么用b减去b2=(1, 1, 1, -1)，得到的b1就一定在S空间中！b-b2=(0,0,0,2)，可是这个得到的向量明显不在S的列空间中。所以是不是上方红字部分的结论是错误的？第三问应该用什么办法求解呢？

luyuanhong

你认为：四维空间的向量，要么在子空间 S 中，要么在 S 的正交补 S⊥ 中，这样的想法，其实是不对的。

举个简单的例子：在二维空间中，即在坐标平面中，设子空间 S 是 x 轴，S 的正交补空间 S⊥ ，是 y 轴。

如果有人说，坐标平面中的一个向量，要么在 x 轴上，要么在 y 轴上，这样的说法，显然是不对的。

正确的说法应该是，坐标平面中的一个向量 v ，如果它的一个投影在 x 轴上，那么 v 减去这个

投影向量后，减下来得到的向量，必定在 x 轴的正交补 y 轴上。

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-10-20 08:08

谢谢lu老师的详细解答。关于第三问的解题方法我学会了。
关于原帖中红字部分的结论，你看我的认识是否正确呢？