求证:n(n+1)(2n+1)能被3整除

费尔马1

求证:n(n+1)(2n+1)能被3整除，其中，n为正整数。

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yangchuanju

n*(n+1)*(2n+1）=(n^2+n)*(2n+1)
=2*n^3+3*n^2+n=3*n^3+3n^2-n^3+n
=3*n^3+3*n^2-n*(n^2-1)=3*n^3+3*n^2+(n-1)*n*(n+1)
3*n^3、3*n^2都是3的倍数，(n-1)*n*(n+1)也是3的倍数，故n*(n+1)*(2n+1)能被3整除。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-10-27 13:50
n*(n+1)*(2n+1）=(n^2+n)*(2n+1)
=2*n^3+3*n^2+n=3*n^3+3n^2-n^3+n
=3*n^3+3*n^2-n*(n^2-1)=3*n^3+3*n^2+ ...

谢谢杨老师关注！老师的答案正确。不过您的方法比较繁琐了，此题还有更简捷的方法啊！