再对张彧典先生的构形集进行分析

雷明85639720

再对张彧典先生的构形集进行分析
雷  明
（二○二一年十月二十五日）

我们过去曾对张先生的构形集进行过分析，现有再进一步进行分析如下：
1、张先生的不可免H—构形集：（如图1）




2、张先生的构形集中只有3个是H—构形：   
张先生的不可免集共有九个构形（第九个构形是埃雷拉E—图，这里未画出），其中只有构形2，构形8和构形9是H—构形（不能能直接从构形的围栏顶点开始进行颜色交换，也空不出任何颜色给待着色顶点的构形）外，其他的构形都是可以连续的移去两个同色B的K—构形（可以直接从构形的围栏顶点开始进行颜色交换，能够空出四种颜色之一颜色给待着色顶点的构形）。
第一构形先从左B起交换B—D，再从右B起交换B—C链，就连续的移去了两个同色B。是一个K—构形。
第三构形至第七构形的五个构形，都是可以先从右B起交换B—C链，再从左B起交换B—D链，也就连续的移去了两个同色B。也都是K—构形。
只有第二构形和第八构形（含第八构形的放大）以及E—图构形才真正是无论从那个方向先交换关于两个同色B的链，都不能连续的移去两个同色B的H—构形。
3、张先生的构形集中三到七5个构形的共同特点：
为什么第三构形到第七构形的五个构形，都是相同方向的可以连续的移去两个同色B的K—构形呢？主要是因为各个构形都千篇一律的从A2顶点到B2顶点都是一条单边。当从B2开始交换了B—C链并移去了一个B后，A—B单边就变成了A—C单边，且该A—C单边一直连续到C1顶点，再从B1顶点交换B—D链时，因受A—C链的阻隔而不能连通到D1顶点，当然也就不能再次移去了另一个同色B了。现在以第六构形为例，进行说明（如图2和图3）。然而第八构形就不存在从A2顶点到B2顶点是一条单边的问题，在从B2开始交换了B—C链后，也就不存在新生成了从C1到其对角的C—A连通链把从B1到D1的对角链阻隔断了的问题。
  
4、张先生构形集中单个构形的再分析：
4、1  第二构形是含有经过了关键顶点C1和D1的C—D环形链的构形，可以用交换环内、外的任一条A—B链的断链交换法使其转化成可约的K—构形而解决；第九构形（E—图构形）是含有经过了关键顶点A1的A—B环形链的构形，也可以用交换环内、外任一条C—D链的断链交换法使其转化成可约的K—构形而解决。
4、2  第一构形和第三构形，就只能用连续的移去两个同色B的办法进行解决。
4、3  第四到第七的四个够形，除了可以连续的移去两个同色B外，还分别有各自的独特解决办法。
4、3、1  第四构形，是一个一交叉无环形链但有局部环链的构形（如图4）。可交换局部环链内部的相反色链，使得双环交叉链的A—D链断开，构形转化成只有一条连通链A—C的可约的K—构形（如图5）。有V 着A和着D的两种着色模式。

4、3、2  第五构形，也是一个一交叉无环形链但有局部环链的构形（如图6）。也可交换局部环链内部的相反色链，使得双环交叉链的A—D链断开，构形转化成只有一条连通链A—C的可约的K—构形（如图7）。也有V 着A和着D的两种着色模式。

看来第四构形与第五构形是一个模式，解决的办法也是一模一样的。
4、3、3  第六构形，还是一个一交叉无环形链但含有可改动颜色的顶点A3的构形（如图8）。把A3改成C后，构形就转化成了有环形链C—D的构形（如图9），交换环内、外的相反色链A—B，构形又转化成可以连续的移去两个同色的K—构形。但把图10中A3的颜色改为C后，却又断开了一条A—D链通链，构形转化成只有一条连通链A—C的可约的K—构形（如图11），也是可约的K—构形。


4、3、4  第七构形，与第六构形是相同的情况，也是一个一交叉无环形链但含有可改动颜色的顶点A3的构形。把A3改成C后，构形就转化成了有环形链C—D的构形，交换环内、外的相反色链A—B，构形又转化成可以连续的移去两个同色的K—构形。但改A3的颜色为C后，也就又断开了一条A—D链通链，构形转化成只有一条连通链A—C的可约的K—构形。第六构形与第七构形二者的解法完全相同。
从对第六构形和第七构形的分析可以看出，已是可以连续的移去两个同色的可约的K—构形的构形，即就是含有经过了关键顶点的环形链，有就不能再用解决H—构形的断链交换法了，如果使用，其使用的结果仍将是一个可以连续的移去两个同色的构形，还不如早点直接连续的移去两个同色以求快速解决问题。
4、4  第八构形，这是一个H—构形，不含有经过了关键顶点的环形链，却也含有可改变颜色的顶点K3（如图12）。由于H—构形的双环交叉链均不能交换，又不含有经过了关链顶点的环形链，两条关于两个同色B的链又不能连续的交换，所以就只有先交换一条关于B的链，使构形进行转型。

进行一次逆时针转型后的图就转化成了一个DCD型的含有经过了关键顶点的环形链A—B的构形，可以用断链法进行解决（如图13）。在A—B环内进行C—D链的交换（如图14），得到一个有另一种含有D—A连通链和D—B连通链的双环交叉链的可约的K—构形（如图15），不可能空出B，但可以通过空出颜色的交换，分别空出颜色A、B、C三色之一给待着色顶点V着上（读者可自已着一下）。
进行一次顺时针转型后的图却转化成了一个CDC型的、含有经过了构形峰点D和双环交叉链D—A与D—B的交叉顶点D两个关键顶点的环形链C—D的构形，也可以用断链法进行解决（如图16）。在C—D环内进行A—B链的交换（如图17），得到一个仍含有D—A连通链和D—B连通链的、但却不相交叉的可约的K—构形（如图18），可以通过空出颜色的交换，空出两个同色C给待着色顶点V着上（如图19）。



在第八构形中还有一个可以改变颜色的单个顶点A3。在图20的第八构形中把A3改成C时，得到一个BAB型的含有经过了关键顶点的C—D环形链的构形（如图21），交换环形链C—D外的A—B链（如图22），得到一个只含有一条连通链A—D的可约的K—构形（如图23），再进行一次交换，即可空出C或A给待着色顶点V着上（图略）。


看来，不含有经过了关键顶点的环形链的构形，只能通过转型交换法（即张彧典先生的H—换色程序）进行转型，解决问题。在转型的过程中还有可能转化成含有经过了关键顶点的环形链的构形，可以改用断链法提前结束转型。
4、5  第八构形的放大构形，与第八构形一样，也是一个H—构形，不含有经过了关键顶点的环形链，也不含有可改变颜色的顶点K3，而非环形的A—B链和C—D链中各都含有局部的环形链部分（如图24）。该构形可以用连续转型交换法进行转型解决问题，也可以用局部断链法断开其中某一条连通链解决问题。这里就不再画图了，道理与解决第四构形、第五构形中的局部断链法，解决第八构形的转型交换法都是相同的。有兴趣的读者可以自已去做一做。

4、6  第九构形，即埃雷拉E—图构形（如图25，图为张彧典先生习惯使用的待着色顶点是隐形的画法）。

这个图本来在张先生的构形集中是没有的，当张先生在发现了米勒团队用H—换色程序研究E—图时，产生了无穷的周期循环，从而又放弃了他们企图用H—换色程序解决四色问题的想法后，张先生就接着对E—图构形的可约性进行了研究。张先生发现，该构形虽然不能用H—换色程序解决问题，但其却有非常明显的特征性标志，即含有经过了关键顶点——构形峰点的环形的A—B链。在环形的A—B链内、外分别交换C—D链，就可以使E—图构形转化成可约的K—构形而可约。为了区别于H—换色程序，张先生把这一方法叫做Z—换色程序。同时也把E—图构形（待着色顶点为隐形画法）也加在了前面八个构形的后面，成为一个与前八个构形处理方法完全不同的、唯一的一个用Z—换色程序处理的构形，排位为第九个构形。我看这好象是没有道理的。前面八个构形都是用青一色的逆时针转形交换法（即H—换色程序），且一个比一个颠倒交换的次数要多一次，而唯独这一个构形用了Z—换色程序，而不用H—换色程序。这有点很难说得过去。
关于构形集中的构形，一定是要有一个内在的规律在联系着，象坎泊的轮构形集一样，是以平面图中不可避免的顶点的度的大小从小到大来排列的。原来的八个不可避免构形的构形集，就是一个按其颠倒次数多少从少到多排列的，但却还没有经过证明最多就是只由这八个不可避免构形构成的构形集，现有突然又在其后增加了一个不用H—换色程序的颠倒方法，而只用Z—换色程序的构形，这能不叫人感到太突然吗？它与前面的八个构形，是用什么内在的规律联系在一起的呢？不得而知！
5、关于不可免的H—构形的分类问题：
当研究发现，在用H—换色程序处理不含有经过关键顶点的环形链的H—构形时，有构形的颠倒次数竟达到20次以上。这时，张先生又把不可避免的H—构形，分为了E—图类构形和非E—图类构形。前者用Z—换色程序解决，后者用H—换色程序解决。分出这样的两个大类是没有问题的。但关键的问题是张先生在使用H—换色程序解决的非E—图类构形的构形，都是从E—图类构形中改变了四色顶点四边形的对角线而得来的，并且只有十五个类型（张先生叫它们为Z—构形）。那么不是用这种方法得到的非E—图类的构形，该如何解决呢，先生并没有给其指明出路。另外，在先生得到的15个Z—构形中，其中就有Z6到Z10的这五个构形，也都是含有经过了关键顶点的环形链的构形，同样也是可以用断链交换的方法（即Z—换色程序）进行解决的。这两种不同类型的构形，又怎么可用相同的办法去解决呢？
所以我一直认为，张先生对H—构形的这种分类方法不科学。科学的方法应是把含有经过了关键顶点的环形链的构形分为一类，而把不含有经过了关键顶点的环形链的构形分为一类。含有环形链的构形用断链交换法（Z—换色程序）进行解决，不含环形链的构形用转型交换法（H—换色程序）进行解决。当然有环形链的构形还可以再按环形链的不同种类，再分为含有A—B环形链的和含有C—D环形链的两个亚类。含 A—B环形链的构形用交换C—D链的办法解决，含C—D环形链的构形用交换A—B链的办法解决。不含有环形链的构形虽然都是用转形交换法进行解决的，但分别都可用不同的转型交换办法进行解决。这就是对角链转型交换法和邻角链转型交换法，以及逆时针转型交换法和顺时针转型交换法。只有这样的分类，才不可能造成漏洞。不会出现象坎泊那样，把一种有双环交叉链的构形全部遗漏了的现象。
只要不可避免的构形集是完备的，没有漏洞了，而且各个不可避免的构形也被证明都是可约的了，才能说明四色猜测是正确的。有任何一点漏洞都不能说明四色猜测是正确的。证明就是这么的严格，一点差错都不能出现。

雷  明
二○二一年十月二十五日于长安

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